Ларрі почав займатися футболом у віці 6 років у клубі «Бюрель». У 2006 році він приєднався до молодіжної академії «Марселя»[3]. Дебют Ларрі на професійному рівні припав на останній матч групового етапу Ліги Європи проти кіпрського АЕЛа. У грі, що відбулася 6 грудня 2012 року, Азуні вийшов на заміну на 71 хвилині[4].
2 вересня 2013 року Ларрі був відданий в оренду з правом викупу строком на один рік в «Лор'ян»[5], де грав здебільшого за дубль. Свій перший матч у Лізі 1 Азуні провів 4 жовтня 2013 року проти «Бастії». З'явившись на полі на 76 хвилині замість Жеремі Альядьера, Ларрі всього 8 хвилин потому був вилучений за грубу гру[6]. Азуні також брав участь в іграх «Лор'яна» у Кубку Франції і Кубку французької ліги, проте з обох змагань його команда вилетіла, провівши по одній зустрічі[7][8].
Влітку 2014 року Азуні в статусі вільного агента перейшов в «Нім-Олімпік» з Ліги 2, з яким підписав контракт на чотири роки[9]. Відтоді встиг відіграти за команду з Німа 49 матчів в національному чемпіонаті.
Виступи за збірні
У 2010 році Азуні провів два матчі за збірну Тунісу серед юнаків до 16 років[10].
2012 року дебютував у складі юнацької збірної Франції, взяв участь у 17 іграх на юнацькому рівні. У 2013 році він взяв участь у юнацькому чемпіонаті Європи у Литві. На турнірі Ларрі зіграв у чотирьох матчах[11], в тому числі у фінальній зустрічі проти збірної Сербії, в якій французи поступилися 0:1[12].
Протягом 2013 року залучався до складу молодіжної збірної Франції до 20 років, за яку зіграв у 2 офіційних матчах, забив 1 гол, після чого 2014 року провів один матч за молодіжну збірну Тунісу[13].
2016 року Азуні остаточно визначився із збірною і дебютував в офіційних матчах у складі національної збірної Тунісу в зустрічі проти Того (1:0)[14].