Користувач:Danbst/Передавальна функція

Відображення передавальної функції на структурних діаграмах

Передавальна функція, передатна[1], перехідна[2] (рос. передаточная функция, англ. transfer function) — динамічна характеристика об'єкта або системи, яка являє собою відношення перетвореного по Лапласу конкретного виходу об'єкту/системи до перетвореного по Лапласу конкретного входу при нульових початкових умовах. Більш просте тлумачення: це математичний вираз, який характеризує поведінку об'єкту в часі і яким відносно просто маніпулювати.

Передавальна функція є одним з ключових понять теорії керування. При управлінні у динамічних системах часто потрібно виконувати перетворення сигналу у сигнал іншої фізичної природи (класичний приклад — напругу на обмотках двигуна у частоту обертання ротора), при цьому перехідна функція являє собою диференціальне рівняння, яким складно оперувати при розрахунках. Застосування перетворення Лапласа до перехідної функції дозволило спростити диференціальні рівняння до алгебраїчних, а отже, спростило аналіз динамічних особливостей об'єктів.

Основи

Однією із найзручніших для аналізу динамічних систем є властивість перетворення Лапласа зводити оператори диференціювання в оригіналах до звичайного множення в зображеннях, а оператори інтегрування — в звичайне ділення. Так,

${\displaystyle {\mathcal {L}}\{f'(t)\}=s\cdot F(s)}$,

${\displaystyle {\mathcal {L}}\{f^{(n)}(t)\}=s^{n}\cdot F(s)}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}\left\{\int \limits _{0}^{t}f(\tau )\,d\tau \right\}={\frac {F(s)}{s}}.}$

А враховуючи лінійність перетворення, складні диференціальні рівняння легко перетворюються в алгебраїчні:

${\displaystyle T_{2}x'(t)=T_{1}y''(t)+Ky(t)\Rightarrow T_{2}sX(s)=T_{1}s^{2}Y(s)+KY(t)}$

Для отримання передавальної функції потрібно розділити перетворений вихідний сигнал на перетворений вхідний:

${\displaystyle W(s)={\frac {Y(s)}{X(s)}}={\frac {T_{2}s}{T_{1}s^{2}+K}}}$

Приклад використання передвальної функції для визначення характеристик ВДПС

ВДПС — електричний двигун, який окрім хороших механічних властивостей має лінійну регулюючу характеристику:

 ${\displaystyle \nu =\alpha -m}$, 

де ${\displaystyle \alpha }$ — коефіцієнт сигналу (${\displaystyle {\frac {U_{c}}{U_{p}}}}$, відношення напруги на обмотці управління до напруги на обмотці збудження), ${\displaystyle m}$ — відносний момент обертання (відносно моменту при ${\displaystyle \alpha =1}$), ${\displaystyle \nu }$ — відносна кутова швидкість (відносно швидкості при ${\displaystyle \alpha =1}$).

Іншими словами, змінюючи лінійно напругу обмотки управління ми лінійно змінюємо коефіцієнт ${\displaystyle \alpha }$, а отже, лінійно змінюємо швидкість обретання ротора двигуна. Проте дана характеристика показує роботу в усталеному режимі, тобто не враховує той факт, що двигун має певний час розгону. Ми можемо знайти формулу розгону двигуна ${\displaystyle \Omega =\Omega _{0}(1-e^{-{\frac {t}{T_{m}}}})}$, проте спроба проаналізувати роботу двигуна, наприклад, при імпульсному керуванні або з вхідним гармонічним сигналом оберенеться великою кількістю розрахунків. Саме для такого аналізу і існують динамічні характеристики.

В загальному випадку, рівняння залежності кутової швидкості від напруги на обмотці управління записується так (розглядаємо якірне управління):

${\displaystyle {\frac {d\Omega }{dt}}+{\frac {1}{T_{m}}}\Omega -{\frac {k_{m}U_{c}}{J}}=0,T_{m}={\frac {J\Omega _{x0}}{M_{p1}}}}$ — постійна часу

Враховуючи, що ${\displaystyle {\frac {T_{m}k_{m}}{J}}=k_{\Omega }}$, ми отримуємо диференціальне рівняння, яке перетворюється у таку передавальну функцію:

Файл:Реакція на запуск двигуна

Файл:Реакція ВДПС на імпульсний вхідний сигнал

${\displaystyle W(s)={\frac {{\mathcal {L}}\{\Omega \}}{{\mathcal {L}}\{U_{c}\}}}={\frac {k_{\Omega }}{T_{m}s+1}}}$

Отже, тепер можна абстрагуватись від механічного поняття "двигун" і перейти до його математичної часової моделі "передавальна функція об'єкта". Використовуючи різноманітні пакети моделювання систем керування, можна тепер "експериментувати" з двигуном — подавати на вхід цікавлячі нас імпульсні та гармонічні сигнали, досліджувати роботу при різних константах, замикати двигун у зворотній зв'язок, досліджувати взаємодію з іншими ланками системи. Насправді усі ці дослідження проводити не варто, оскільки передавальна функція, яка описує роботу ВДПС є однією із типових ланок, а саме аперіодичною ланкою першого порядку (її ще називаються інерційною ланкою).

Визначення і зв'язок з іншими динамічними характеристиками

${\displaystyle W(s)={\frac {{\mathcal {L}}\left\{y(t)\right\}}{{\mathcal {L}}\left\{x(t)\right\}}}}$

Приклади передавальних функцій реальних систем та об'єктів

Дискретна передавальна функція

Дивись також

• Теорія автоматичного керування
• Типові ланки САУ, описані передавальними функціями
• Перехідна функція
• Перетворення Лапласа
• Виконавчий двигун постійного струму

Посилання

1. http://msu.kharkov.ua/tc/cons/peredat.html
2. Вживається дуже рідко, оскільки існує окремий термін Перехідна функція