Класи Бера

Класи Бера — множини дійснозначних функцій, означені індуктивно, введені Рене-Луі Бером в 1899 році.

Означення

Надалі розглядаємо функції ${\displaystyle f:A\rightarrow R}$, де ${\displaystyle A}$ — метричний простір.

• До класу Бера 0 відносяться всі неперервні функції.
• До класу Бера 1 відносяться всі розривні функції, які є поточковою границею послідовності неперервних функцій.
• До класу Бера n > 0 відносять функції, які не належать жодному класу Бера m < n, але які можна подати як поточкову границю послідовності функцій класів m < n.

Нумерація класів Бера не обмежується натуральними числами, і може бути продовжена за допомогою трансфінітних чисел.

Властивості

Надалі ${\displaystyle \alpha }$ — порядкове число.

• Лінійна комбінація, добуток та частка^[сумнівно ] функцій з класу Бера з номером не вище ніж ${\displaystyle \alpha }$ теж належать до класу Бера з номером не вище ніж ${\displaystyle \alpha }$.
• Рівномірно збіжна послідовність функцій з класів з номером не більше ніж ${\displaystyle \alpha }$ має границю з класу Бера з номером не більше ніж ${\displaystyle \alpha }$.
• Похідна довільної диференційовної функції належить або класу Бера 0 або класу Бера 1.
• Функція Діріхле належить до класу Бера 2.
• Кожен клас Бера — непорожній.
• Існують функції, що не належать до жодного класу Бера.
• Множина берівських функцій (множина функцій, що належать до якогось класу Бера) збігається з множиною Борелівських функцій.
• Всі берівські функції вимірні.
• Кожна вимірна функція (за Лебегом) еквівалентна (тобто відрізняється на множині міри нуль) функції з класу Бера не вище ніж 2.
• Розривна функція належить до першого класу Бера тоді й лише тоді, коли вона має точку неперервності на кожній досконалій множині.

Джерела

• Банах С. Курс функціонального аналізу (лінійні операції). — К. : Радянська школа, 1948. — 216 с.(укр.)
• Банах С. Диференціальне та інтегральне числення = Rachunek różniczkowy i całkowy. — 2-е. — М. : Наука, 1966. — 436 с.(рос.)
• Hazewinkel, Michiel, ред. (2001), Класи Бера, Математична енциклопедія, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4