Олександр Квіташвілі народився 15 листопада 1970 року в Тбілісі.
Навчався на історичному факультеті Тбіліського державного університету (спеціальність «Новітня історія Європи і США»), який закінчив з відзнакою 1992 року.
2003 року повернувся до Грузії й почав працювати спеціалістом в галузі адміністрування та фінансів у грузинському представництві Програми розвитку ООН. 1995-го став заступником, а згодом виконувачем обов'язків керівника грузинської місії Комітету допомоги об'єднаної методистської церкви. 1997 року займає посаду президента грузинської неурядової організації «Міжнародний фонд „Кураціо“, який займався реформуванням систем охорони здоров'я в країнах з перехідною економікою. 2002-го Олександр Квіташвілі стає національним експертом-координатором підкомітету сектора охорони здоров'я, соціального захисту та освіти програми економічного зростання і подолання бідності в Грузії. З 1995 року по 2002 рік консультував різні міжнародні організації в Азербайджані, Литві, Україні, Вірменії та Сербії. З 2002 по 2003 працював консультантом Інституту трансатлантичного партнерства проти СНІДу і в Інституті Схід-Захід (англ.EastWest Institute — EWI) (Нью-Йорк, США). 2004 року стає адміністративним директором і членом ради правління цього інституту. Відповідав за управління центрами Інституту Схід-Захід в Нью-Йорку, Брюсселі, Празі та Москві та за координацію діяльності відділів по роботі з персоналом, інформаційних технологій і загальне адміністрування, розробку корпоративної політики Інституту.
У січні 2008 року призначається на посаду міністра праці, охорони здоров'я та соціального захисту Грузії в уряді Ладо Гургенідзе за часів президентства Міхеїла Саакашвілі. Займає її до серпня 2010 року. З вересня 2010 року виконує обов'язки ректора Тбіліського державного університету ім. Іване Джавахішвілі. У грудні того ж року був обраний на 4-річний термін ректором цього університету. У червні 2013 року подав у відставку у зв'язку з поправками, що вносяться до закону „Про вищу освіту“ і до серпня 2013 року знову виконував обов'язки ректора Тбіліського державного університету.
Батько Мераб Квіташвілі — директор Національного центру терапії Грузії. Мати Майя Месхі — головний лікар Центру невідкладної кардіології імені Чапідзе.