Кватерніони і повороти простору

Кватерніон ${\displaystyle \ \mathbf {q} =a+bi+cj+dk}$ можна представити у вигляді пари скаляра та 3-вимірного вектора:

${\displaystyle \ \mathbf {q} =(s,{\vec {v}}),\quad s=a,\quad {\vec {v}}=(b,c,d)}$,

множення кватерніонів буде виражатись через скалярний та векторний добутки 3-вимірних векторів:

${\displaystyle \ \mathbf {q_{1}q_{2}} =(s_{1},{\vec {v_{1}}})(s_{2},{\vec {v_{2}}})=(s_{1}s_{2}-{\vec {v_{1}}}\cdot {\vec {v_{2}}},\;\;s_{1}{\vec {v_{2}}}+s_{2}{\vec {v_{1}}}+{\vec {v_{1}}}\times {\vec {v_{2}}}).}$

Виразимо векторний добуток через добуток кватерніонів:

${\displaystyle \ {\vec {v_{1}}}\times {\vec {v_{2}}}={\mathbf {q_{1}q_{2}-q_{2}q_{1}} \over 2}.}$

Поворот точки навколо осі в 3-вимірному просторі

Покажемо що результатом повороту вектора ${\displaystyle \ {\vec {v}}}$ на кут ${\displaystyle \ \alpha }$ відносно осі ${\displaystyle \ {\vec {u}}}$ (одиничний вектор) буде: ${\displaystyle \mathbf {v} '=\mathbf {qvq^{-1}} }$, де

${\displaystyle \mathbf {v} =(0,\;\;{\vec {v}})}$ — чисто векторний кватерніон,

${\displaystyle \mathbf {u} =(0,\;\;{\vec {u}})}$ — чисто векторний кватерніон,

${\displaystyle \mathbf {q} =\left(\cos {\frac {\alpha }{2}},\;\;{\vec {u}}\sin {\frac {\alpha }{2}}\right),\qquad |\mathbf {q} |=1,\quad \mathbf {q^{-1}=\mathbf {q^{*}} } .}$

Перепишемо останній кватерніон в іншій формі:

${\displaystyle \mathbf {q} =\cos {\frac {\alpha }{2}}+\mathbf {u} \cdot \sin {\frac {\alpha }{2}};}$

${\displaystyle \mathbf {q^{-1}} =\cos {\frac {\alpha }{2}}-\mathbf {u} \cdot \sin {\frac {\alpha }{2}}.}$

Спершу обчислимо необхідний нам вираз (використали властивість подвійного векторного добутку):

${\displaystyle \ \mathbf {uvu} =({\vec {u}}\times {\vec {v}})\times {\vec {u}}-({\vec {u}}\cdot {\vec {v}}){\vec {u}}={\vec {v}}-2{\vec {u}}({\vec {u}}\cdot {\vec {v}}).}$

Обчислимо добуток:

${\displaystyle \mathbf {v} '=\left(\cos {\frac {\alpha }{2}}+\mathbf {u} \sin {\frac {\alpha }{2}}\right)\;\mathbf {v} \;\left(\cos {\frac {\alpha }{2}}-\mathbf {u} \sin {\frac {\alpha }{2}}\right)}$

${\displaystyle {\begin{matrix}\mathbf {v} '&=&-\mathbf {uvu} \sin ^{2}{\frac {\alpha }{2}}&+&\mathbf {v} \cos ^{2}{\frac {\alpha }{2}}&+&(\mathbf {uv-vu} )\sin {\frac {\alpha }{2}}\cos {\frac {\alpha }{2}}\\&=&(2{\vec {u}}({\vec {u}}\cdot {\vec {v}})-{\vec {v}})\sin ^{2}{\frac {\alpha }{2}}&+&{\vec {v}}\cos ^{2}{\frac {\alpha }{2}}&+&({\vec {u}}\times {\vec {v}})(2\sin {\frac {\alpha }{2}}\cos {\frac {\alpha }{2}})\\&=&{\vec {u}}({\vec {u}}\cdot {\vec {v}})(2\sin ^{2}{\frac {\alpha }{2}})&+&{\vec {v}}(\cos ^{2}{\frac {\alpha }{2}}-\sin ^{2}{\frac {\alpha }{2}})&+&({\vec {u}}\times {\vec {v}})\sin \alpha \\&=&{\vec {u}}({\vec {u}}\cdot {\vec {v}})(1-\cos \alpha )&+&{\vec {v}}\cos \alpha &+&({\vec {u}}\times {\vec {v}})\sin \alpha \\&=&{\vec {u}}({\vec {u}}\cdot {\vec {v}})&+&({\vec {v}}-{\vec {u}}({\vec {u}}\cdot {\vec {v}}))\cos \alpha &+&({\vec {u}}\times {\vec {v}})\sin \alpha \\&=&{\vec {v}}_{\|}&+&{\vec {v}}_{\bot }\cos \alpha &+&({\vec {u}}\times {\vec {v}}_{\bot })\sin \alpha ,\end{matrix}}}$

де ${\displaystyle {\vec {v}}_{\|}}$ та ${\displaystyle {\vec {v}}_{\bot }}$ компоненти вектора ${\displaystyle {\vec {v}}}$ паралельні і перпендикулярні до ${\displaystyle {\vec {u}}}$ відповідно:

• ${\displaystyle {\vec {v}}={\vec {v}}_{\|}+{\vec {v}}_{\bot }}$
• ${\displaystyle {\vec {u}}\;\|\;{\vec {v}}_{\|}}$
• ${\displaystyle {\vec {u}}\;\bot \;{\vec {v}}_{\bot }.}$

Кожен з трьох доданків є ортогональним до двох інших.

Кількість операцій

Обчислення результату двох поворотів

	Зберігання	Множення	Додавання
Матриця повороту ${\displaystyle \mathbf {R=R_{2}R_{1}} }$	9	27	18
Кватерніон ${\displaystyle \mathbf {q=q_{2}q_{1}} }$	4	16	12

Обчислення повороту точки

	Зберігання	Множення	Додавання
Матриця повороту ${\displaystyle \mathbf {v'=Rv} }$	9	9	6
Кватерніон ${\displaystyle \mathbf {v'=qvq^{-1}} }$	4	15	12

Матриця повороту

• Поворотові за допомогою одиничного кватерніона ${\displaystyle \ \mathbf {q} =a+bi+cj+dk}$ відповідає наступна матриця повороту

${\displaystyle \mathbf {R} ={\begin{pmatrix}1-2(c^{2}+d^{2})&2bc-2ad&2ac+2bd\\2ad+2bc&1-2(b^{2}+d^{2})&2cd-2ab\\2bd-2ac&2ab+2cd&1-2(b^{2}+c^{2})\\\end{pmatrix}}.}$

• Якщо представимо кватерніон у вигляді ${\displaystyle \mathbf {q} =\left(\cos {\frac {\alpha }{2}},\;\;{\vec {u}}\sin {\frac {\alpha }{2}}\right),\quad {\vec {u}}=(x,y,z);}$ тоді

${\displaystyle \mathbf {R} _{\vec {u}}(\alpha )=\mathbf {uu} ^{T}+(I-\mathbf {uu} ^{T})\cos \alpha +{\big [}\mathbf {u} {\big ]}_{\times }\sin \alpha .}$

Доданки ідентичні доданкам із формули отриманої через кватерніони.

Для спрощення обчислень, зведемо подібні доданки та вернемось до векторної форми (формула повороту Родрігеса):

${\displaystyle \mathbf {v} '=\mathbf {u} (\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} )(1-\cos \alpha )+\mathbf {v} \cos \alpha +(\mathbf {u} \times \mathbf {v} )\sin \alpha .}$

Перший та другий доданки вже не є обов'язково ортогональними.