Задання групи
Задання групи — в математиці спосіб визначення групи за допомогою множини породжувальних елементів S, таких що кожен елемент групи може бути записаний через добуток цих елементів, і множини співвідношень породжувальних елементів R. Як правило, таке задання позначається так:
Задання групи є дуже компактним і зручним способом визначення групи, проте із задання групи часто важко встановити навіть найпростіші властивості групи, зокрема чи є група скінченною, комутативною, тривіальною і т. д. Особливо часто задання груп використовується в комбінаторній і геометричній теорії груп, а також топології.
Формальне визначення
Нехай T — деяка множина, а <S> — вільна група над цією множиною. Нехай тепер R — деяка множина слів над S тобто деяка підмножина <S>. Позначимо через N нормальне замикання множини R, тобто мінімальну нормальну підгрупу групи <S>, що містить всі елементи R. Визначимо тепер факторгрупу:
Елементи множини S називаються породжувальними (генерувальними) елементами, а елементи R співвідношеннями. Якщо деяка група ізоморфна до побудованої вище групи то кажуть, що ця група має задання
Якщо — деякий елемент множини співвідношень то часто пишуть r=1. Також використовується вираз x=y де і
Властивості
- Для кожної групи існує задання
- Справді нехай G деяка група. Позначимо через <G> вільну групу над множиною елементів G. Тоді згідно з властивостями вільної групи одиничне відображення з G в G єдиним чином продовжується до гомоморфізму з <G> в G. Позначимо тепер R множину елементів <G>, що входять до ядра цього гомоморфізму. Тоді <G|R> є одним із способів задання групи. Зрозуміло, що це задання є дуже надлишковим.
- Теорема Діка. Якщо , а (тобто множини породжувальних елементів у двох груп однакові і множина співвідношень групи H містить всі співвідношення групи G і, можливо ще й інші) тоді H ізоморфна деякій факторгрупі <G>.
- Справді якщо N нормальне замикання R, а N' нормальне замикання , тоді Тоді згідно з теоремою про ізоморфізм маємо що й доводить твердження.
Приклади
В поданій нижче таблиці показані деякі задання груп. Для усіх груп вибрані найпростіші задання.
Група |
Задання групи |
Коментарі
|
Вільна група на множині S |
|
Група вільна бо немає співвідношень.
|
Cn, циклічна група порядку n
|
|
|
D2n, діедрична група порядку 2n
|
|
r- поворот, f - симетричне відображення
|
D∞, безмежна діедрична група
|
|
|
Dicn, діциклічна група
|
|
|
Z × Z
|
|
|
Zm × Zn
|
|
|
Вільна абелева група S
|
де R множина всіх комутаторів елементів S
|
|
Симетрична група, Sn
|
породжувальні елементи: співвідношення:
- ,
- ,
|
Тут перестановка, що міняє місцями i -ий елемент з i+1 -им.
|
the braid group, Bn
|
породжувальні елементи:
співвідношення:
- ,
|
|
Тетраедрична група, T ≅ A4
|
|
|
Октаедрична група, O ≅ S4
|
|
|
Ікосаедрична група, I ≅ A5
|
|
|
Група кватерніонів, Q
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
PSL2(Z) є вільним добутком циклічних груп Z2 і Z3
|
Група Гейзенберга
|
|
|
Група Баумслага — Солітера, B(m,n)
|
|
|
Група Тітса
|
|
|
Скінченнопороджені і скінченнозадані групи
- Якщо для деякої групи існує задання зі скінченною множиною породжувальних елементів, то така група називається скінченнопородженою.
- Якщо для деякої групи існує задання зі скінченною множиною породжувальних елементів і скінченною множиною співвідношень, то така група називається скінченнозаданою.
Див. також
Джерела
|
|