Дзета-розподіл

zeta
Plot of the Zeta PMF on a log-log scale. (The function is only defined at integer values of k. The connecting lines do not indicate continuity.)
Функція розподілу ймовірностей
Параметри	${\displaystyle s\in (1,\infty )}$
Носій функції	${\displaystyle k\in \{1,2,\ldots \}}$
Розподіл імовірностей	${\displaystyle {\frac {1/k^{s}}{\zeta (s)}}}$
Функція розподілу ймовірностей (cdf)	${\displaystyle {\frac {H_{k,s}}{\zeta (s)}}}$
Середнє	${\displaystyle {\frac {\zeta (s-1)}{\zeta (s)}}~{\textrm {for}}~s>2}$
Мода	${\displaystyle 1\,}$
Дисперсія	${\displaystyle {\frac {\zeta (s)\zeta (s-2)-\zeta (s-1)^{2}}{\zeta (s)^{2}}}~{\textrm {for}}~s>3}$
Ентропія	${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1/k^{s}}{\zeta (s)}}\log(k^{s}\zeta (s)).\,\!}$
Твірна функція моментів (mgf)	does not exist
Характеристична функція	${\displaystyle {\frac {\operatorname {Li} _{s}(e^{it})}{\zeta (s)}}}$

У теорії ймовірності та статистиці дзета -розподіл є дискретним розподілом ймовірностей . Якщо X є дельта-розподіленою випадковою величиною з параметром s, то ймовірність того, що X прийме ціле значення k, задається наступною функцією ймовірності

${\displaystyle f_{s}(k)=k^{-s}/\zeta (s)\,}$

де ζ ( s ) є дзета -функцією Рімана, яка є невизначена при s = 1.

Кратності окремих простих множників від X є незалежними випадковими величинами .

Дзета -функція Рімана, як сума всіх доданків ${\displaystyle k^{-s}}$ при цілому додатному числі k, виглядає як нормалізація розподілу Зипфа . Терміни "розподіл Зипфа" та "дзета -розподіл" часто використовуються як взаємозамінні. Але варто звернути увагу, що хоча розподіл дзети сам по собі є імовірнісним розподілом, він не асоціюється із законом Зіффа з тією самою експонентою.

Визначення

Зета -розподіл є визначений для натуральних чисел ${\displaystyle k\geq 1}$, а її функція ймовірності задається як

${\displaystyle P(x=k)={\frac {1}{\zeta (s)}}k^{-s}}$ ,

де ${\displaystyle s>1}$ є параметром і ${\displaystyle \zeta (s)}$ - дзета-функція Рімана .

Кумулятивна функція розподілу задається формулою

${\displaystyle P(x\leq k)={\frac {H_{k,s}}{\zeta (s)}},}$

де ${\displaystyle H_{k,s}}$ - узагальнене гармонічне число

${\displaystyle H_{k,s}=\sum _{i=1}^{k}{\frac {1}{i^{s}}}.}$