Двоїста категорія

Двоїста категорія або дуальна категорія, до категорії ${\displaystyle C}$ — категорія ${\displaystyle C^{\circ }}$ з тими ж об'єктами, що і ${\displaystyle C}$ і з множинами морфізмів ${\displaystyle Hom^{\circ }(A,B)=Hom(B,A)}$ («обернення стрілок»). Композиція морфізмів у ${\displaystyle f}$ і ${\displaystyle g}$ у категорії ${\displaystyle C^{\circ }}$ визначається як композиція ${\displaystyle g}$ і ${\displaystyle f}$ у ${\displaystyle C}$. Поняття і твердження стосовно категорії ${\displaystyle C}$ замінються двоїстими поняттями й твердженнями у ${\displaystyle C^{\circ }}$.

Так, поняття епіморфізму двоїсте поняттю мономорфізму, поняття проєктивного об'єкта — поняттю ін'єктивного об'єкта, прямий добуток — прямій сумі і т. д. Контраваріантний функтор на C стає коваріантним на ${\displaystyle C^{\circ }}$.

Іноді двоїста категорія має безпосередню реалізацію: так, категорія дискретних абелевих груп еквівалентна двоїстій категорії до категорії компактних абелевих груп (двоїстість Понтрягіна), а категорія афінних схем еквівалентна двоїстій категорії до категорії комутативних кілець з одиницею.

Прилади

• Категорія булевих алгебр еквівалентна двоїстій категорії просторів Стоуна і неперервних функцій.
• Категорія афінних схем еквівалентна двоїстій категорії комутативних кілець.
• Двоїстість Понтрягіна можна обмежити на еквівалентність категорії компактних гаусдорфових абелевих топологічних груп і двоїстій категорії (дискретних) абелевих груп.
• За теоремою Гельфанда — Ноймарка категорія локально вимірних просторів (і вимірних функцій) еквівалентна двоїстій категорії комутативних алгебр фон Неймана.

Властивості

• ${\displaystyle ({\mathcal {C}}\times {\mathcal {D}})^{op}\cong {\mathcal {C}}^{op}\times {\mathcal {D}}^{op}}$ (див. Категорія добутку)
• ${\displaystyle (Funct({\mathcal {C}},{\mathcal {D}}))^{op}\cong Funct({\mathcal {C}}^{op},{\mathcal {D}}^{op})}$[1][2] (див. Категорія функторів)
• ${\displaystyle (F\downarrow G)^{op}\cong (G^{op}\downarrow F^{op})}$ (див. Категорія коми)

Література

• С. Мак Лейн Категории для работающего математика. — М.: Физматлит, 2004 [1998].

1. H. Herrlich, G. E. Strecker, Category Theory, 3rd Edition, Heldermann Verlag, p. 99.
2. O. Wyler, Lecture Notes on Topoi and Quasitopoi, World Scientific, 1991, p. 8.