Ін'єктивний об'єкт

Ін'єктивний об'єкт — теоретико-категорне узагальнення поняття ін'єктивних модулів. Двоїстим є поняття проєктивного об'єкта.

Означення

Об'єкт Q є ін'єктивним, якщо для мономорфізму f : X → Y, довільний морфізм g : X → Q можна продовжити до Y.

Об'єкт ${\displaystyle Q}$ категорії ${\displaystyle C}$ називається ін'єктивним, якщо для будь-якого морфізма ${\displaystyle g:X\to Q}$ і будь-якого мономорфізма ${\displaystyle f:X\to Y}$ існує (не обов'язково єдиний) морфізм ${\displaystyle h:Y\to Q,}$для якого ${\displaystyle h\circ f=g}$.

У локально малих категоріях, об'єкт ${\displaystyle Q}$ є ін'єктивним тоді і тільки тоді коли контраваріантний функтор Hom ${\displaystyle \operatorname {Hom} _{\mathfrak {C}}(-,Q)}$ переводить мономорфізми у ${\displaystyle {\mathfrak {C}}}$ у сюр'єктивні відображення множин.

Досить багато ін'єктивних об'єктів

Кажуть, що в категорії ${\displaystyle C}$ досить багато ін'єктивних об'єктів, якщо для будь-якого об'єкта ${\displaystyle X}$ категорії ${\displaystyle C}$ існує мономорфізм ${\displaystyle f:X\to Q}$ в ін'єктивний об'єкт ${\displaystyle Q}$.

Ін'єктивна оболонка

Мономорфізм ${\displaystyle g}$ категорії ${\displaystyle C}$ називається істотним, якщо для будь-якого морфізма ${\displaystyle f}$ композиція ${\displaystyle f\circ g}$ є мономорфізмом, тільки якщо ${\displaystyle f}$ є мономорфізмом.

Якщо ${\displaystyle f:X\to G}$ — істотний мономорфізм і об'єкт ${\displaystyle G}$ є ін'єктивним, то ${\displaystyle G}$ називається ін'єктивною оболонкою ${\displaystyle X}$. Ін'єктивна оболонка є єдиною з точністю до неканонічного ізоморфізму.

Випадок абелевих категорій

Якщо ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ — (локально мала) абелева категорія, то її об'єкт ${\displaystyle Q}$ називається ін'єктивним тоді і тільки тоді, коли функтор Hom ${\displaystyle \mathrm {Hom} _{\mathcal {C}}(-,Q)}$ є точним.

Ще одним еквівалентним еквівалентним означенням є: об'єкт ${\displaystyle Q}$ є ін'єктивним якщо і тільки якщо кожна послідовність виду

${\displaystyle 0\to Q\to U\to V\to 0}$

є точною у ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ тоді і тільки тоді коли вона розщеплюється, тобто ${\displaystyle U}$ є ізоморфним прямій сумі ${\displaystyle Q\oplus V}$.

Загалом контраваріантний функтор Hom є точним зліва, тобто для короткої точної послідовності ${\displaystyle 0\to A\to B\to C\to 0}$ точною є лише послідовність ${\displaystyle 0\to \mathrm {Hom} (C,Q)\to \mathrm {Hom} (B,Q)\to \mathrm {Hom} (A,Q).}$ Для того щоб цей функтор був точним необхідно і достатньо щоб відображення ${\displaystyle \mathrm {Hom} (B,Q)\to \mathrm {Hom} (A,Q)}$ було сюр'єктивним, тобто для кожного морфізма ${\displaystyle f:A\to Q}$ існував морфізм ${\displaystyle g:B\to Q,}$ для якого ${\displaystyle g\circ h=f,}$ де ${\displaystyle h:A\to B}$ — морфізм із початкової точної послідовності. Оскільки в абелевій категорії мономорфізм ${\displaystyle h:A\to B}$ завжди можна продовжити до короткої точної послідовності (взявши за C коядро h) то звідси одержується еквівалентність загального означення із означенням через точність функтора Hom.

Якщо ${\displaystyle Q}$ є ін'єктивним об'єктом і ${\displaystyle \operatorname {Id} :Q\to Q}$ — одиничний морфізм, то з означення ін'єктивності випливає, що для мономорфізма ${\displaystyle h:Q\to U}$ існує морфізм ${\displaystyle g:U\to Q,}$ такий що ${\displaystyle \operatorname {Id} _{Q}=h\circ g.}$ Але існування такого морфізма є еквівалентним розщепленню точної послідовності ${\displaystyle 0\to Q\to U\to V\to 0.}$

Навпаки, нехай довільна така коротка точна послідовність розщеплюється, ${\displaystyle h:A\to B}$ — мономорфізм і ${\displaystyle f:A\to Q}$ — довільний морфізм. В абелевій категорії існують всі розшаровані кодобутки і існування морфізму ${\displaystyle g:B\to Q,}$ для якого ${\displaystyle g\circ h=f}$ є еквівалентним існуванню морфізма ${\displaystyle {\bar {g}}:B\sqcup _{A}Q\to Q,}$ для якого ${\displaystyle \operatorname {Id} _{Q}={\bar {g}}\circ i_{2}.}$ У абелевій категорії розшаровані кодобутки зберігають мономорфізми, тому ${\displaystyle i_{2}:Q\to B\sqcup _{A}Q}$ теж є мономорфізмом і тому частиною точної послідовності :${\displaystyle 0\to Q\to B\sqcup _{A}Q\to \operatorname {Kocer} i_{2}\to 0.}$ Оскільки згідно умови ця послідовність розщеплюється то необхідний морфізм ${\displaystyle {\bar {g}}}$ існує.

Як і кожен контраваріантний адитивний функтор ${\displaystyle \mathrm {Hom} _{C}(-,Q)}$ є точним справа тоді і тільки тоді, коли переводить ядра у коядра. Ця умова є ще одною еквівалентною умовою ін'єктивності об'єкта ${\displaystyle Q.}$

Властивості

• Нехай ${\displaystyle Q=\prod _{i\in I}Q_{i}}$ — добуток деякої сім'ї об'єктів. Тоді ${\displaystyle Q}$ є ін'єктивним тоді і тільки тоді, коли всі ${\displaystyle Q_{i}}$ є ін'єктивними.
• Будь-який ін'єктивний підоб'єкт ${\displaystyle Q}$ об'єкта ${\displaystyle C}$ є його прямим доданком.
• Якщо ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{1},{\mathcal {C}}_{2}}$ — абелеві категорії і ${\displaystyle G:{\mathcal {C}}_{2}\to {\mathcal {C}}_{1}}$ — функтор спряжений до точного функтора ${\displaystyle F:{\mathcal {C}}_{1}\to {\mathcal {C}}_{2},}$ то G переводить ін'єктивні об'єкти категорії ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{2}}$ у ін'єктивні об'єкти категорії ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{1}.}$
• Нехай ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{1},{\mathcal {C}}_{2}}$ — абелеві категорії і ${\displaystyle G:{\mathcal {C}}_{2}\to {\mathcal {C}}_{1}}$ — функтор спряжений справа до функтора ${\displaystyle F:{\mathcal {C}}_{1}\to {\mathcal {C}}_{2}.}$ Якщо G переводить ін'єктивні об'єкти категорії ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{2}}$ у ін'єктивні об'єкти категорії ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{1}}$ і у ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{2}}$ є досить багато ін'єктивних об'єктів, то F є точним функтором.
• Якщо ${\displaystyle Q_{1},Q_{2}}$ є ін'єктивними оболонками об'єктів ${\displaystyle P_{1},P_{2}}$ відповідно, то ${\displaystyle Q_{1}\oplus Q_{2}}$ є ін'єктивною оболонкою ${\displaystyle P_{1}\oplus P_{2}.}$
• Якщо ${\displaystyle Q_{1},Q_{2}}$ є ін'єктивними оболонками об'єкта ${\displaystyle P,}$ то вони є ізоморфними.

Приклади

• У категорії абелевих груп ін'єктивними об'єктами є подільні групи.
• Адитивна група раціональних чисел є ін'єктивною оболонкою адитивної групи цілих чисел у категорії абелевих груп.
• Нехай p — просте число. Нехай ${\displaystyle Z_{p^{\infty }}}$ — мультиплікативна підгрупа комплексних чисел, що задовольняють хоча б одному рівнянню виду ${\displaystyle z^{p^{n}}=1,\;n>0.}$ Тоді у категорії абелевих груп ${\displaystyle Z_{p^{\infty }}}$ є ін'єктивною оболонкою для всіх груп ${\displaystyle Z_{p^{m}}}$ — коренів з одиниці степеня ${\displaystyle p^{m}.}$
• У категорії модулів ${\displaystyle R-\mathrm {Mod} }$ ін'єктивними об'єктами є ін'єктивні модулі. У ${\displaystyle R-\mathrm {Mod} }$ існують ін'єктивні оболонки, і, як наслідок, досить багато ін'єктивних об'єктів.
• В категорії метричних просторів і коротких відображень ін'єктивними об'єктами є ін'єктивні метричні простори.
• Розглядають також ін'єктивні об'єкти в більш загальних категоріях, наприклад в категоріях функторів або в категоріях пучків модулів.

Узагальнення

об'єкт Q є H-ін'єктивним якщо для h : A → B із класу H, для будь-якого f : A → Q існує комутативна діаграма.

Нехай ${\displaystyle {\mathfrak {C}}}$ є категорією і ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ — клас морфізмів у ${\displaystyle {\mathfrak {C}}}$.

Об'єкт ${\displaystyle Q}$ категорії ${\displaystyle {\mathfrak {C}}}$ називається ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$-ін'єктивним якщо для будь-якого морфізма ${\displaystyle f:\to Q}$ і кожного морфізма ${\displaystyle h:\to B}$ з класу ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ існує морфізм ${\displaystyle g:B\to Q}$ для якого ${\displaystyle g\circ h=f}$.

Якщо ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ є класом мономорфізмів то одержується означення ін'єктивних модулів.

Категорія ${\displaystyle {\mathfrak {C}}}$ має досить багато ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$-ін'єктивних об'єктів якщо для кожного об'єкта X категорії ${\displaystyle {\mathfrak {C}}}$, існує ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$-морфізм із X у ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$-ін'єктивний об'єкт.

${\displaystyle {\mathcal {H}}}$-морфізм g у ${\displaystyle {\mathfrak {C}}}$ називається ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$-істотним якщо для будь-якого морфізма f, композиція fg належить класу ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ лише якщо f належить класу ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$.

Якщо g є ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$-істотним морфізмом із X у ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$-ін'єктивний об'єкт G, то G називається H-ін'єктивною оболонкою об'єкта X.

Див. також

• Ін'єктивний модуль
• Проєктивний об'єкт

Література

• И. Букур, А. Деляну Введение в теорию категорий и функторов. — М.: Мир, 1972.
• Tennison, B. R. (1975), Sheaf theory, Cambridge University Press, MR 0404390