Гіпереліптична крива

Рис. 1. Графік гіпереліптичної кривої ${\displaystyle C:y^{2}=f(x)}$ де $${\displaystyle f(x)=x^{5}-2x^{4}-7x^{3}+8x^{2}+12x=x(x+1)(x-3)(x+2)(x-2).}$$

В алгебричній геометрії гіпереліптична крива — алгебрична крива роду ${\displaystyle g>1}$, задана рівнянням вигляду

$${\displaystyle y^{2}+h(x)y=f(x)}$$

де ${\displaystyle f(x)}$ — многочлен степеня ${\displaystyle n=2g+1>4}$ або ${\displaystyle n=2g+2>4}$ з ${\displaystyle n}$ різними коренями, а ${\displaystyle h(x)}$ — многочлен степеня ${\displaystyle <g+2}$ (якщо ${\displaystyle g}$ не дорівнює 2, можна прийняти ${\displaystyle h(x)=0}$).

Гіпереліптична функція — елемент функціонального поля^[en] такої кривої або многовиду Якобі^[en] на кривій; ці два поняття ідентичні для еліптичних функцій, але різні для гіпереліптичних функцій.

Рід

Степінь многочлена визначає рід кривої: многочлен степеня ${\displaystyle 2g+1}$ або ${\displaystyle 2g+2}$ дає криву роду ${\displaystyle g}$. Якщо степінь дорівнює ${\displaystyle 2g+1}$, криву називають уявною гіпереліптичною кривою^[en]. Водночас криву степеня ${\displaystyle 2g+2}$ називають дійсною гіпереліптичною кривою^[en]. Це твердження про рід залишається істинним для ${\displaystyle g=0}$ або 1, але ці особливі випадки не називають «гіпереліптичними». У випадку ${\displaystyle g=1}$ (якщо вибрати виділену точку) таку криву називають еліптичною.

Постановка та вибір моделі

Хоча ця модель є найпростішим способом опису гіпереліптичних кривих, таке рівняння матиме особливу точку на нескінченності в проєктивній площині. Ця особливість характерна для випадку ${\displaystyle n>3}$. Тому, якщо несингулярну криву визначають таким рівнянням, майже завжди мають на увазі несингулярну модель (також звану плавним завершенням^[en]), еквівалентну в сенсі біраціональної геометрії.

Точніше, рівняння визначає квадратичне розширення C(x), і мається на увазі саме це функціональне поле. Особливу точку на нескінченності можна видалити (оскільки це крива) за допомогою процесу нормалізації (інтегрального замикання). Виявляється, що після цього є відкрите покриття кривої двома афінними діаграмами: тією, яка вже задана $${\displaystyle y^{2}=f(x)}$$ і ще однією, заданою як $${\displaystyle w^{2}=v^{2g+2}f(1/v).}$$

Карти склеювання між двома діаграмами задаються як $${\displaystyle (x,y)\mapsto (1/x,y/x^{g+1})}$$ і $${\displaystyle (v,w)\mapsto (1/v,w/v^{g+1}),}$$ де б їх не було визначено.

Фактично передбачається геометричне скорочення, причому криву C визначають як розгалужене подвійне покриття проєктивної прямої, розгалуження^[en] відбувається в коренях f, а також, для непарних n, у точці на нескінченності. Таким чином, випадки ${\displaystyle n=2g+1}$ і ${\displaystyle 2g+2}$ можна об'єднати, оскільки, щоб перемістити будь-яку точку розгалуження від нескінченності, можна також використати автоморфізм проєктивної площини.

Використання формули Рімана–Гурвіца

За допомогою формули Рімана — Гурвіца^[en] гіпереліптичну криву роду ${\displaystyle g}$ визначають рівнянням степеня ${\displaystyle n=2g+2}$. Припустимо, ${\displaystyle f:X\rightarrow P^{1}}$ — розгалужене покриття зі ступенем галуження 2, де ${\displaystyle X}$ — крива з родом ${\displaystyle g}$, а ${\displaystyle P^{1}}$ — сфера Рімана. Нехай ${\displaystyle g_{1}=g}$ і ${\displaystyle g_{0}}$ — рід ${\displaystyle P^{1}(=0)}$, тоді формула Рімана — Гурвіца дає

${\displaystyle 2-2g_{1}=2(2-2g_{0})-\sum _{s\in X}(e_{s}-1)}$

де ${\displaystyle s}$ є над усіма розгалуженими точками на ${\displaystyle X}$. Кількість точок галуження дорівнює n, і в кожній точці галуження ${\displaystyle s}$ маємо ${\displaystyle e_{s}=2}$, тому формула набуває вигляду

${\displaystyle 2-2\times g=2(2-2\times 0)-n\times (2-1)}$

тому ${\displaystyle n=2g+2}$.

Поява і застосування

Усі криві роду 2 є гіпереліптичними, але для роду ≥ 3 родова крива не є гіпереліптичною. Це видно евристично з перевірки розмірності простору модулів. Підраховуючи константи, при ${\displaystyle n=2g+2}$ набір з n точок, що підлягають дії автоморфізмів проєктивної прямої, має ${\displaystyle (2g+2)-3}$ ступенів вільності, що менше, ніж ${\displaystyle 3g-3}$, кількість модулів кривої роду ${\displaystyle g}$, якщо ${\displaystyle g}$ не дорівнює 2. Значно більше відомо про гіпереліптичне геометричне місце точок у просторі модулів кривих або абелевих многовидів^[прояснити: ком.], хоча складніше показати загальні негіпереліптичні криві за допомогою простих моделей.[1] Однією з геометричних характеристик гіпереліптичних кривих є точки Веєрштрасса^[en]. Детальніша геометрія негіпереліптичних кривих походить із теорії канонічних кривих^[en], канонічне відображення є 2-до-1 на гіпереліптичних кривих, але 1-до-1 в інших випадках для g > 2. Тригональні криві^[en] — це криві, які відповідають кубічному, а не квадратному кореню многочлена.

Визначення за допомогою квадратичних розширень поля раціональної функції працює для полів загалом, за винятком характеристики 2; у всіх випадках доступне геометричне визначення як розгалужене подвійне покриття проєктивної прямої, якщо припускається, що розширення є роздільним.

Гіпереліптичні криві можуть бути використані в гіпереліптичній криптографії^[en] для криптосистем, заснованих на задачі дискретного логарифмування.

Гіпереліптичні криві також складають цілі зв'язні компоненти певних шарів простору модулів абелевих диференціалів[2].

Гіпереліптичність кривих роду 2 використано для підтвердження гіпотези Громова про площу заповнення^[en] у випадку заповнень роду =1.

Класифікація

Гіпереліптичні криві даного роду g мають простір модулів, тісно пов'язаний із кільцем інваріантів бінарної форми степеня ${\displaystyle 2g+2}$.

Історія

Вперше гіпереліптичні функції опублікував Адольф Ґьопель^[en] (1812—1847) у своїй останній статті Абелеві трансценденти першого порядку (нім. Abelsche Transcendenten erster Ordnung; Journal für die reine und angewandte Mathematik^[en], том 35, 1847). Незалежно над цим питанням працював Йоганн Розенгайн^[de] і опублікував статтю Обернення ультраеліптичних інтегралів першого роду (нім. Umkehrungen ultraelliptischer Integrale erster Gattung; Mémoires des savants etc., том 11, 1851).

Див. також

• Поверхня Больци
• Супереліптична крива^[en]

Примітки

1. Poor, Cris (1996). Schottky's form and the hyperelliptic locus. Proceedings of the American Mathematical Society. 124 (7): 1987—1991. doi:10.1090/S0002-9939-96-03312-6. MR 1327038.
2. Kontsevich, Maxim; Zorich, Anton (2003). Connected components of the moduli spaces of Abelian differentials with prescribed singularities. Inventiones Mathematicae. 153 (3): 631—678. arXiv:math.GT/0201292. Bibcode:2003InMat.153..631K. doi:10.1007/s00222-003-0303-x.

Посилання

• Hazewinkel, Michiel, ред. (2001), curve Hyper-elliptic curve, Математична енциклопедія, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4
• A user's guide to the local arithmetic of hyperelliptic curves (англ.)