Границя (теорія категорій)Границя в теорії категорій — поняття, що узагальнює властивості таких конструкцій, як добуток, розшарований добуток і проективна границя. Двоїстим до границі є поняття кограниці, що узагальнює властивості таких конструкцій, як диз'юнктне об'єднання, кодобуток, розшарований кодобуток і індуктивна границя. ОзначенняПоняття границі і кограниці вводяться за допомогою діаграм. Діаграмою типу J в категорії C називається функтор:
Найбільший інтерес представляє випадок, коли J є малою або скінченною категорією. У цьому випадку діаграма J називається малою або скінченною. Категорію J можна сприймати як індексну, об'єкти якої індексують об'єкти категорії C подібно до того, як для послідовностей натуральні числа індексують елементи деякої множини. У випадку категорій проте у індексній категорії також задані деякі морфізми між об'єктами, які функтор переводить у морфізми між індексованими об'єктами. Нехай F — діаграма типу J в категорії C. Конусом у F називається об'єкт N в C разом з сім'єю морфізмів ψ X : N → F(X), індексованих об'єктами X діаграми J, такий що для будь-якого морфізма f: X → Y в J також F(f) o ψX = ψY. Границею діаграми F: J → C називається конус (L, φ) в F такий, що для будь-якого конуса (N, ψ) у F існує єдиний морфізм u: N → L, такий що φX o u = ψX для всіх X в J. Аналогічним чином дається означення поняття кограниці — потрібно лише обернути всі стрілки у комутативній діаграмі. Більш детально: Коконус діаграми F: J → C — об'єкт N категорії C разом з сім'єю морфізмів:
для кожного X в J, такий, що для будь-якого морфізма f: X → Y в J виконується ψ YoF(f) = ψX. Кограницею діаграми F: J→C називається коконус (L, φ) такий , що для будь-якого іншого коконуса (N, ψ) існує єдиний морфізм u: L → N, такий, що uoφ X = ψ X для всіх X в J. Як і будь-які універсальні об'єкти, границі і кограниці не завжди існують, але якщо існують, то визначені з точністю до ізоморфізму. Приклади границьУ прикладах розглядається границя (L, φ) діаграми F: J → C.
ВластивостіІснуванняКатегорія має границі типу J, якщо будь-яка діаграма типу J має границю. Категорія називається повною, якщо вона має границю для будь-якої малої діаграми (тобто діаграми, елементи якої утворюють множину). Аналогічно визначаються скінченно повні і коповні категорії. Наприклад категорія множин Set є повною. Границею діаграми J є множина: Згідно теореми про існування границь, якщо у категорії C існують усі вирівнювачі і всі добутки проіндексовані Ob(J) і Hom(J), тоді у C існують усі границі типу J. Границя діаграми F : J → C може бути записана як вирівнювання двох морфізмів заданих у компонентній формі як Справедливою також є двоїста теорема про існування кограниць у термінах ковирівнювачів і кограниць. Універсальна властивістьРозглянемо категорію C з діаграмою J. Категорію функторів C J можна вважати категорією діаграм типу J в C. Діагональний функтор — функтор, що відображає елемент N категорії C в постійний функтор Δ(N): J → C, що відображає все в N. Для даної діаграми F: J → C (що розглядається як об'єкт C J), натуральне перетворення ψ: Δ(N) → F (що розглядається як морфізм категорії CJ) — те ж саме, що конус з N в F. Компоненти ψ — морфізми ψ X: N → F(X). Означення границь і кограниць можна переписати як:
Функтори і границіФунктор G: C → D індукує відображення з Cone(F) в Cone(GF). G зберігає границі в F, якщо (GL, Gφ ) — границя GF, коли (L, φ) — границя F. Функтор G зберігає всі границі типу J, якщо він зберігає границі всіх діаграм F: J → C. Наприклад, можна говорити, що G зберігає добутки, вирівнювачі і т. д. Неперервний функтор — функтор, який зберігає всі малі границі. Аналогічні означення вводяться для кограниць. Важливою властивістю спряжених функторів є те, що кожен правий спряжений функтор є неперервним і кожен лівий спряжений функтор є конеперервним. Функтор G: C → D піднімає границі для діаграми F: J → C якщо з того, що (L, φ) — границя GF випливає, що існує границя (L ', φ') в F, така що G(L, φ) = (L, φ) [2]. Функтор G піднімає границі типу J, якщо він піднімає границі для всіх діаграм типу J. Існують двоїсті означення для кограниць. Примітки
Див. такожЛітература
|