Гомологічна сфера

Гомологічна сфера — n-вимірний многовид X з гомологіями як у n-вимірної сфери. Тобто

H₀(X,Z) = Z = H_n(X,Z), і

H_i(X,Z) = {0} за всіх інших i.

Приклади

• Сфера Пуанкаре
• Сфери Бріскорна Σ(p, q, r), тобто перетин малої 5-вимірної сфери з розв'язком рівняння x^p + y^q + z^r = 0 в ${\displaystyle \mathbb {C} ^{3}}$ за взаємно простих p, q і r. Вони є гомологічними сферами. При цьому Σ(1, 1, 1) гомеоморфне стандартній сфері, а Σ(2, 3, 5) сфері Пуанкаре. Якщо ${\displaystyle 1/p+1/q+1/r\leq 1}$, то універсальне накриття Σ(p, q, r) гомеоморфне евклідовому простору,

Властивості

• Гомологічна сфера зв'язна.
• Фундаментальна група ${\displaystyle \Gamma }$ гомологічної сфери збігається зі своїм комутатором.
• Нехай ${\displaystyle n\geqslant 5}$. Група ${\displaystyle \Gamma }$ є групою якоїсь n-вимірної гомологічної сфери тоді й лише тоді, коли[1]:
  1. ${\displaystyle \Gamma }$ скінченно задана;
  2. ${\displaystyle H_{1}(\Gamma )=0}$;
  3. ${\displaystyle H_{2}(\Gamma )=0}$.
• Група ${\displaystyle \Gamma }$ є групою якоїсь 4-вимірної гомологічної сфери, якщо
  1. ${\displaystyle \Gamma }$ задана рівним числом твірних і співвідношень, і
  2. ${\displaystyle H_{1}(\Gamma )=0}$.
  • Невідомо, чи істинне зворотне.
• Зв'язна сума двох гомологічних сфер — це гомологічна сфера.
• Згідно з узагальненою гіпотезою Пуанкаре, однозв'язна гомологічна сфера гомеоморфна стандартній сфері.

Варіації та узагальнення

• Раціонально гомологічна сфера визначається аналогічно, але з використанням гомологій з раціональними коефіцієнтами.

Див. також

• Сфера Пуанкаре
• Многовид Бріскорна

Примітки

1. Michel A. Kervaire, Smooth Homology Spheres and their Fundamental Groups Transactions of the American Mathematical Society, Vol. 144 (Oct., 1969), pp. 67—72