Народився в сім'ї Олександра Глаголєва, викладача Київської духовної академії, пізніше протоієрея і професора, який загинув в київській тюрмі в 1937 році. Мати — Зінаїда Петрівна, уроджена Слєсаревська, дочка завідувача бібліотеки Київської духовної академії. Брат — Сергій, сестра — Варвара.
Закінчив з відзнакою Третю київську гімназію. З 1919 року навчався в Київській духовній академії, яку закінчив в 1923 році. У цей період академія функціонувала неофіційно, так як була закрита більшовицькою владою. У 1926 році одружився з Тетяною Павлівною, уродженої Булашевіч, дочкою цукрозаводчика — вони разом входили до складу парафії київського священника Анатолія Жураковського. Діти: Магдалина (нар. 1926), Микола (нар. 1928), Марія (нар. 1943).
Життя в 1930-і роки
7 травня1932 року Олексій Глаголєв був заарештований за обвинуваченням у контрреволюційній діяльності, через тиждень звільнений через відсутність доказів, але позбавлений виборчих прав як син «служителя культу». Працював бетонщиком, сторожем дитячого садка, вагарем на Фруктоварочному заводі. В 1936 році вступив на фізико-математичний факультет Київського педагогічного інституту, який закінчив у 1940 році. Належав до «катакомбної церкви», в 1940 році їздив в Грузію для таємного прийняття сану священника у грузинського католикоса, але той відмовився, заявивши, що «у вас будуть скоро свої єпископи».
Під час нацистської окупації Києва брав участь разом з членами своєї сім'ї в порятунку євреїв — ховав їх у своєму житлі (церковному напівпідвалі) і в будинках, які належали до приходу Покровської церкви (паспортисткою в них працювала дружина о. Олексія, а управдомом — його друг Олександр Григорович Горбовський). Також він видавав їм свідоцтва про хрещення на старих бланках, що залишилися від протоієрея Олександра Глаголєва. Одній єврейці Тетяна Павлівна Глаголєва віддала свій паспорт, в який була вклеєна фотографія жінки, що переховувалася. За спогадами о. Олексія,
моя дружина мало не поплатилася життям за свій відчайдушний вчинок. Гестапівці, що ходили по квартирах з метою реквізиції, почали вимагати в неї паспорт і, коли його не виявилося, заявили, що відведуть дружину мою в гестапо як підозрілу особу. А вже з гестапо рідко хто повертався додому. Ледве-ледве вдалося їх вблагати залишити дружину в спокої, засвідчивши показаннями свідків її особистість.
Серед врятованих була і російська сім'я підполковника Червоної армії — його дружина і шестеро дітей. Сім'я Глаголєвих піддавалася значному ризику — за переховування євреїв загрожував розстріл — але все одно продовжувала рятувати людей, незважаючи на вагітність дружини о. Олексія Тетяни (в 1943 році вона народила дочку Марію).
У 1943 році служив в лікарняній церкві Преподобного Агапіта Цілителя в Покровському монастирі. Залишався на Подолі (разом з людьми, яких переховував), незважаючи на вимогу німецької влади до всіх жителів покинути цю частину Києва. Восени 1943 року був затриманий нацистами, двічі побитий і разом з сином відправлений в Німеччину, але зумів втекти. В 1945 році на прохання священноначалля склав записку на ім'я першого секретаря ЦК Компартії УкраїниМ. С. Хрущова про порятунок сім'єю Глаголєвих євреїв під час окупації.
Післявоєнна діяльність
Після війни продовжував служити в Покровській церкві аж до її закриття в 1960 році, керував її ремонтом. Потім служив в Хрестовоздвиженській церкві й у Флорівському монастирі. Протягом останніх п'яти років свого життя був другим священником у церкві Покрови Божої Матері на Солом'янці. В кінці життя був тяжко хворий (як наслідок побиття нацистами в 1943 році), переніс кілька порожнинних операцій.
Характеристика особистості
У нарисі Сергія Кокуріна «Глаголєви: важка правда» дається така характеристика о. Олексія:
Завзятість, з якою Олексій Глаголєв йшов проти течії, мало зрозуміла обивателю. Нелегко, напевно, зрозуміти, звідки в цій невисокого зросту, аж ніяк не «мужнього виду» людині бралася непоказна безстрашність. Він зовсім не вирізнявся фізичною силою, був навіть слабкий (ще в гімназії йому діставалося від товаришів, захищав його... молодший брат Сергій). Але цей крихкий інтелігент в окулярах в 1936 році на очах у всіх ніс на собі по вулицях Подолу хрест, скинутий з купола церкви Миколи Доброго і, незважаючи на погрози комсомольців, зберігав його (як ікони і всі речі батька) в квартирі на Дегтярній. Єдиним священником в Києві, що відмовився в квітні 1942 року служити молебеньГітлеру на честь дня його народження, був о. Олексій. Він не побоявся в 1946 році поселити в Варваріїнській церкві (де тимчасово жили солдати, яких виписували з госпіталю) сім'ю киян, яка за рішенням суду повинна була о 24 годині забратися з Києва (в їх квартирі на Андріївському узвозі оселився енкаведист).
Пам'ять про о. Олексія Глаголєва
В 1992 році інститут Яд Вашем (Єрусалим) оголосив про присвоєння почесного звання Праведників народів світу[3] о. Олексію, його дружині Тетяні Павлівні, їх дочці Магдалині Пальян-Глаголєвій. В 2001 році це звання було присвоєно і синові о. Олексія Миколі, який був зв'язковим між своїми батьками і людьми, яких рятували.
У 2020 році проєкт Слово Праведника випустив документальний фільм, присвячений Родині Глаголєвих.
30 січня2002 року до сторіччя протоієрея Олексія Глаголєва на стіні Києво-Могилянської академії (вул. Волоська, д. 8/5, корп. 4) встановлено меморіальну дошку, присвячену священникам Олександру та Олексію Глаголєвим.
2022 року на честь Олексія та його батька Олександра назвали вулицю в Києві.