Віконне перетворення Фур'є

Віконне перетворення Фур'є — це перетворення Фур'є, що застосовується для визначення синусоїдної частоти та вмісту фази локальної секції сигналу, що має властивість змінюватись в часі.[1]

Характеристика трансформації

Класичне перетворення Фур’є враховує спектр сигналу, який взято у всьому діапазоні існування змінної. Найчастіше інтереси зосереджуються тільки на локальному розподілі частот, у той час коли необхідно зберегти первинну змінну (зазвичай час). У цьому випадку використовується узагальнене перетворення Фур'є, так зване віконне перетворення Фур’є. Для початку необхідно вибрати деяку віконну функцію:

${\displaystyle F(t,\omega )={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }f(\tau )W(\tau -t)e^{-i\omega \tau }\,d\tau ,}$

де ${\displaystyle F(t,\omega )}$ дає розподіл частот частини оригінального сигналу f(t) у окіл часу ${\displaystyle t}$.

Реалізація

Для віконного перетворення Фур'є в цифровому вигляді може застосовуватися не тільки зважування кожного цифрового відліку в процесі формування згортки, а й еквівалентне вагове підсумовування відгуків перетворення Фур'є.

Наприклад, зважування вікном Ханна (Хеннінга) та вікном Хеммінга може бути представлено у вигляді[2][3]:

${\displaystyle w={\frac {U_{1}+\beta U_{2}+U_{3}}{\beta }}}$,

де ${\displaystyle U_{1}}$, ${\displaystyle U_{2}}$, ${\displaystyle U_{3}}$ - відгуки перетворення Фур'є, ${\displaystyle w}$ - результат віконного перетворення, ${\displaystyle \beta =2}$ відповідає вікну Ханна (Хеннінга), ${\displaystyle \beta =0.53836/0.23082}$ - вікну Хеммінга[2][3].

Реалізація зазначеного зважування здійснюється в режимі ковзного вікна по масиву відгуків перетворення Фур'є.

Примітки

1. Jont B. Allen (June 1977). Short Time Spectral Analysis, Synthesis, and Modification by Discrete Fourier Transform. IEEE Transactions on Acoustics, Speech, and Signal Processing. ASSP-25 (3): 235—238.
2. Слюсар В.И. Современные тренды радиорелейной связи. //Технологии и средства связи. – 2014. - № 4. - С. 32 - 36. [[https://web.archive.org/web/20200110062028/http://www.slyusar.kiev.ua/TSS_4_2014_1.pdf Архівовано 10 січня 2020 у Wayback Machine.]]
3. Слюсар В. И., Королев Н. А. Ващенко П. А. Метод повышения частотной избирательности систем сотовой связи, использующих цифровое диаграммообразование. // Тези доповідей XIV НТК. Частина 1. - Житомир: ЖВІРЕ. - 2004. - С. 77. [1] [Архівовано 14 січня 2020 у Wayback Machine.]

Посилання

• Некоторые оконные функции и их параметры [Архівовано 8 травня 2017 у Wayback Machine.]
• Использование оконных функций в задачах цифрового спектрального анализа. Примеры и рекомендации [Архівовано 17 лютого 2017 у Wayback Machine.]