Відособлений розподіл

У теорії ймовірностей та статистиці відосо́блений розпо́діл (англ. marginal distribution) підмножини набору випадкових змінних — це розподіл імовірності змінних, що містяться у цій підмножині. Він дає ймовірності різних значень змінних цієї підмножини без посилання на значення інших змінних. Він контрастує з умовним розподілом, що дає значення ймовірностей в залежності від значень інших змінних.

Термін відосо́блена змі́нна (англ. marginal variable) використовується для позначення змінних у підмножині збережених змінних. В англійській мові ці терміни отримали позначення англ. marginal, оскільки їх знаходили підсумовуванням значень у таблиці вздовж рядків та стовпчиків, і записуванням сум на полях (англ. margin) таблиці.[1] Розподіл відособлених змінних (відособлений розподіл) отримується шляхом відосо́блення (англ. marginalizing) над розподілом змінних, що скасовуються, а про скасовані змінні кажуть, що їх було знеосо́блено (англ. marginalized out).

Контекстом тут є те, що здійснювані теоретичні дослідження або аналіз даних включають ширший набір випадкових змінних, але увага обмежується зменшеним числом тих змінних. У багатьох застосуваннях аналіз може починатися заданим набором випадкових змінних, потім спершу розширювати набір визначенням нових (таких як сума початкових випадкових змінних), і нарешті зменшувати число змінних шляхом зміщення уваги на відособлений розподіл підмножини (такої як сума). Може здійснюватися декілька різних аналізів, кожен з яких працює з різними підмножинами змінних як з відособленими змінними.

Випадок двох змінних

	x1	x2	x3	x4	py(Y)↓
y1	^4⁄32	^2⁄32	^1⁄32	^1⁄32	^8⁄32
y2	^2⁄32	^4⁄32	^1⁄32	^1⁄32	^8⁄32
y3	^2⁄32	^2⁄32	^2⁄32	^2⁄32	^8⁄32
y4	^8⁄32	0	0	0	^8⁄32
px(X) →	^16⁄32	^8⁄32	^4⁄32	^4⁄32	^32⁄32
Спільний та відособлені розподіли пари дискретних випадкових змінних X,Y, що мають ненульову взаємну інформацію I(X; Y). Значення спільного розподілу — в квадраті 4×4, а значення відособлених розподілів — вздовж правого та нижнього країв.

Для заданих двох випадкових змінних X and Y, для яких є відомим їх спільний розподіл, відособленим розподілом X є просто розподіл імовірності X, усередненої за інформацією про Y. Він є розподілом ймовірності X, коли значення Y є невідомим. Він зазвичай обчислюється підсумовуванням або інтегруванням спільного розподілу за Y.

Для дискретних випадкових змінних відособлену функцію маси ймовірності може бути записано як Pr(X = x). Вона є

${\displaystyle \Pr(X=x)=\sum _{y}\Pr(X=x,Y=y)=\sum _{y}\Pr(X=x|Y=y)\Pr(Y=y),}$

де Pr(X = x,Y = y) є спільним розподілом X та Y, тоді як Pr(X = x|Y = y) є умовним розподілом X за умови Y. У цьому випадку змінну Y було від-відособлено.

Двовимірні відособлені та спільні ймовірності дискретних випадкових змінних часто зображують у вигляді двобічних таблиць.

Аналогічно, для неперервних випадкових змінних відособлену функцію густини ймовірності може бути записано як p_X(x). Вона є

${\displaystyle p_{X}(x)=\int _{y}p_{X,Y}(x,y)\,\operatorname {d} \!y=\int _{y}p_{X|Y}(x|y)\,p_{Y}(y)\,\operatorname {d} \!y,}$

де p_X,Y(x,y) дає спільний розподіл X та Y, тоді як p_X|Y(x|y) дає умовний розподіл X за умови Y. Знов-таки, змінну Y було від-відособлено.

Зауважте, що відособлену ймовірність завжди може бути записано як математичне сподівання:

${\displaystyle p_{X}(x)=\int _{y}p_{X|Y}(x|y)\,p_{Y}(y)\,\operatorname {d} \!y=\mathbb {E} _{Y}[p_{X|Y}(x|Y)]}$

Інтуїтивно, відособлена ймовірність X обчислюється шляхом вивчення умовної ймовірності X для певного значення Y, а потім усереднення цієї умовної ймовірності над розподілом усіх значень Y.

Це випливає із визначення математичного сподівання, тобто, у загальному випадку,

${\displaystyle \mathbb {E} _{Y}[f(Y)]=\int _{y}f(y)p_{Y}(y)\,\operatorname {d} \!y}$

Реальний приклад

Припустімо, що обчислюватиметься ймовірність того, що пішохода, який переходить дорогу пішохідним переходом, не зважаючи на сигнал світлофора, зіб'є машина. Нехай H (від англ. hit) буде дискретною випадковою змінною, що набуватиме значень з {Зіб'є, Не зіб'є}. Нехай L (від англ. light) буде дискретною випадковою змінною, що набуватиме значень з {Червоне, Жовте, Зелене}.

Правдоподібно, що H залежатиме від L. Тобто, P(H = Зіб'є) та P(H = Не зіб'є) набуватимуть різних значень в залежності від того, чи L є червоним, жовтим або зеленим. Пішохода, наприклад, набагато ймовірніше буде збито при спробі перейти, коли світло для поперечного руху є зеленим, ніж коли воно є червоним. Іншими словами, для будь-якої заданої можливої пари значень H та L ми мусимо розглянути спільний розподіл ймовірності H та L, щоби знайти ймовірність того, що така пара трапиться разом, якщо пішохід ігнорує сигнал світлофора.

Тим не менш, у спробі розрахувати відособлену ймовірність P(H = Зіб'є), від нас вимагають ймовірність того, що H = Зіб'є в ситуації, в якій ми фактично не знаємо конкретне значення L, і в якій пішохід ігнорує колір світла світлофора. В загальному випадку пішохода може бути збито, якщо світло є червоним, АБО якщо світло є жовтим, АБО якщо світло є зеленим. Тож у цьому випадку відповідь для відособленої ймовірності може бути знайдено підсумовуванням P(H,L) для всіх можливих значень L, із зважуванням кожного значення L ймовірністю того, що воно може трапитися.

Ось таблиця, що показує умовні ймовірності бути збитим, у залежності від стану світлофора. (Зауважте, що стовпчики в цій таблиці мусять давати в сумі 1, оскільки ймовірність бути збитим або не збитим дорівнює 1 не залежно від стану світлофора.)

Умовний розподіл: P(H|L)
	L=Червоне	L=Жовте	L=Зелене
H=Не зіб'є	0.99	0.9	0.2
H=Зіб'є	0.01	0.1	0.8

Щоби знайти спільний розподіл ймовірності, ми потребуємо більше даних. Нехай P(L=Чевоне) = 0.2, P(L=Жовте) = 0.1, and P(L=Зелене) = 0.7. Домножуючи кожного стовпчика умовного розподілу на ймовірність трапляння цього стовпчика, ми знаходимо спільний розподіл імовірності H та L, наведений у центральному блоці 2×3 записів. (Зауважте, що комірки у цьому блоці 2×3 дають в сумі 1.)

Спільний розподіл: P(H,L)
	L=Червоне	L=Жовте	L=Зелене	Відособлена ймовірність P(H)
H=Не зіб'є	0.198	0.09	0.14	0.428
H=Зіб'є	0.002	0.01	0.56	0.572
Разом	0.2	0.1	0.7	1

Відособлена ймовірність P(H=Зіб'є) є сумою вздовж рядка H=Зіб'є цієї таблиці спільного розподілу, оскільки вона є ймовірністю бути збитим, коли світло є червоним АБО жовтим АБО зеленим. Аналогічно, відособлена ймовірність P(H=Не зіб'є) є сумою рядка H=Не зіб'є. В цьому прикладі ймовірність того, що пішохода буде збито, якщо він не звертає уваги на стан світлофора, становить 0.572.

Багатовимірні розподіли

Багато зразків із двовимірного нормального розподілу. Відособлені розподіли показано червоним та синім. Відособлений розподіл X також наближено створенням гістограми координат X без врахування координат Y.

Формули для багатовимірних розподілів є подібними до наведені вище, з символами X та/або Y, що інтерпретуються як вектори. Зокрема, кожне підсумовування або інтегрування відбуватиметься над усіма змінними, крім тих, що містяться в X.

Див. також

• Спільний розподіл
• Метрика Васерштейна

Примітки

1. Trumpler та Weaver, 1962, с. 32—33.

Література

• Гнєденко Б. В. Курс теорії ймовірностей. — Київ : ВПЦ Київський університет, 2010. — 464 с.
• Everitt, B. S. (2002). The Cambridge Dictionary of Statistics. Cambridge University Press. ISBN 0-521-81099-X. (англ.)
• Trumpler, Robert J.; Weaver, Harold F. (1962). Statistical Astronomy. Dover Publications. (англ.)