Аксіоматика теорії ймовірностей

Аксіоматика Колмогорова — загальноприйнятий аксіоматичний підхід до математичного опису події та імовірності, запропонований Андрієм Миколайовичем Колмогоровим в 1929, остаточно в 1933. Він додав теорії ймовірностей формальний стиль, прийнятий у сучасній математиці.

Історія аксіоматизації теорії імовірностей

Проблема аксиоматизації теорії імовірностей включена Д. Гільбертом у формулювання його 6-ї проблеми «Математичний виклад основ фізики»:

З дослідженнями геометрії тісно зв'язана задача про аксіоматичну побудову по цьому ж зразку тих фізичних дисциплін, у яких уже тепер математика відіграє видатну роль: це в першу чергу теорія імовірностей та механіка. Що стосується аксіом теорії імовірностей, те мені здавалося б бажаним, щоб паралельно з логічним обґрунтуванням цієї теорії йшов рука об руку строгий і задовільний розвиток методу середніх значень у математичній фізиці, зокрема, у кінетичній теорії газів.

До Колмогорова спроби аксіоматизувати теорію ймовірностей починали Больман, С. Бернштейн, Р. Мізес, а також А. Ломницкий на базі ідей Е. Бореля про зв'язок понять імовірності й міри.

А. Н. Колмогоров під впливом ідей теорії множин та теорії міри сформулював просту систему аксіом (яка, щоправда, не є єдиною), що дозволила описати вже існуючі на той час класичні розділи теорії імовірностей, дати поштовх розвитку її нових розділів, наприклад, теорії випадкових процесів, і стала загальноприйнятою в сучасній теорії імовірностей.

Аксіоми теорії ймовірностей

Елементарна теорія ймовірностей — та частина теорії ймовірностей, в якій доводиться мати справу з ймовірностями лише скінченного числа подій. Теорія ймовірностей, як математична дисципліна, може і повинна бути аксіоматизована абсолютно в тому ж сенсі, як геометрія або алгебра. Це означає, що, після того як дані назви досліджуваних об'єктів та їх основні відношення, а також аксіоми, яким ці відношення повинні підкорюватися, весь подальший виклад повинен ґрунтуватися виключно лише на цих аксіомах, не спираючись на звичайне конкретне значення цих об'єктів і їх відношень. Аксиоматизація теорії ймовірностей може бути проведена різними способами як щодо вибору аксіом, так і щодо вибору основних понять і основних співвідношень. Якщо мати на меті можливу простоту як самої системи аксіом, так і побудови на ній подальшої теорії, то представляється найдоцільнішим аксіоматизовані поняття випадкової події та його ймовірності.

Формування

Нехай ${\displaystyle ~\Omega }$  — множина елементів ${\displaystyle ~\omega }$, які називаються елементарними подіями, а ${\displaystyle ~{\mathcal {F}}}$ — множина підмножин ${\displaystyle ~\Omega }$, що називаються випадковими подіями (або просто — подіями), а ${\displaystyle ~\Omega }$ — простір елементарних подій.

• Аксіома I (алгебра подій). ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ є алгеброю подій.
• Аксіома II (існування ймовірності подій). Кожній події ${\displaystyle x}$ з ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ поставлено у відповідність невід'ємне дійсне число ${\displaystyle \mathbf {P} (x)}$, яке називається ймовірністю події ${\displaystyle x}$.
• Аксіома III (нормування ймовірності). ${\displaystyle \mathbf {P} (\Omega )=1}$.
• Аксіома IV (адитивність ймовірності). Якщо події ${\displaystyle x}$ і ${\displaystyle y}$ не перетинаються, то: ${\displaystyle \mathbf {P} (x+y)=\mathbf {P} (x)+\mathbf {P} (y)}$.

Сукупність об'єктів ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbf {P} )}$, що задовольняє аксіомам I-IV, називається ймовірнісним простором (у Колмогорова: поле ймовірностей).

Зауваження

Система аксіом I—IV не суперечить сама собі. Це показує наступний приклад: ${\displaystyle ~\Omega }$ складається з єдиного елемента ${\displaystyle ~\omega }$, ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ — з ${\displaystyle ~\Omega }$ і безлічі неможливих подій (порожньої множини) ${\displaystyle \varnothing }$, при цьому ${\displaystyle \mathbf {P} (\Omega )=1,\mathbf {P} (\varnothing )=0}$. Однак ця система аксіом не є повною: в різних питаннях теорії ймовірностей розглядаються різні ймовірнісні простори.

Джерела

• Карташов М. В. Імовірність, процеси, статистика. — Київ : ВПЦ Київський університет, 2007. — 504 с.
• Гнеденко Б. В. Курс теории вероятностей. — 6-е изд. — Москва : Наука, 1988. — 446 с.(рос.)
• Гихман И. И., Скороход А. В., Ядренко М. В. Теория вероятностей и математическая статистика. — Київ : Вища школа, 1988. — 436 с.(рос.)
• Колмогоров А.Н. Основные понятия теории вероятностей. — 2-е изд. — Москва : Наука, 1974. — 119 с.(рос.)
• Єжов С.М. (2001). Теорія ймовірностей, математична статистика і випадкові процеси: Навчальний посібник (PDF) (укр) . К.: ВПЦ «Київський університет». Архів (PDF) оригіналу за 24 лютого 2007. Процитовано 20 червня 2010.