Умовний розподіл

Умовний розподіл у теорії ймовірностей — це розподіл випадкової величини за умови, що інша випадкова величина набуває визначене значення.

Визначення

Передбачимо, що задано ймовірнісний простір ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )}$.

Дискретні випадкові величини

Нехай ${\displaystyle X:\Omega \to \mathbb {R} ^{m}}$ і ${\displaystyle Y:\Omega \to \mathbb {R} ^{n}}$ — випадкові величини, такі, що випадковий вектор ${\displaystyle (X,y)^{\top }:\Omega \to \mathbb {R} ^{m+n}}$ має дискретний розподіл, що задається функцією ймовірностей ${\displaystyle p_{X,y}(x,y),\;x\in \mathbb {R} ^{m},y\in \mathbb {R} ^{n}}$. Нехай ${\displaystyle y_{0}\in \mathbb {R} ^{n}}$ такий, що ${\displaystyle \mathbb {P} (Y=y_{0})>0}$. Тоді функція

${\displaystyle p_{X\mid Y}(x\mid y_{0})=\mathbb {P} (X=x\mid Y=y_{0})={p_{X,y}(x,y_{0}) \over p_{y}(y_{0})},\;x\in \mathbb {R} ^{m}}$,

де ${\displaystyle p_{Y}}$ - функція ймовірностей випадкової величини ${\displaystyle Y}$, називається умовною функцією ймовірностей випадкової величини ${\displaystyle X}$ за умови, що ${\displaystyle Y=y_{0}}$. Розподіл, що задається умовною функцією ймовірностей, називається умовним розподілом.

Абсолютно неперервні випадкові величини

Нехай ${\displaystyle X:\Omega \to \mathbb {R} ^{m}}$ и ${\displaystyle Y:\Omega \to \mathbb {R} ^{n}}$ - випадкові величини, такі що випадковий вектор ${\displaystyle (X,Y)^{\top }:\Omega \to \mathbb {R} ^{m+n}}$ має абсолютно неперервний розподіл, який задається щільностю ймовірностей ${\displaystyle f_{X,Y}(x,y),\;x\in \mathbb {R} ^{m},y\in \mathbb {R} ^{n}}$. Нехай ${\displaystyle y_{0}\in \mathbb {R} ^{n}}$ таке, що ${\displaystyle f_{Y}(y_{0})>0}$, де ${\displaystyle f_{Y}}$ - щільність випадкової величини ${\displaystyle Y}$. Тоді функція

${\displaystyle f_{X\mid Y}(x\mid y_{0})={\frac {f_{X,Y}(x,y_{0})}{f_{Y}(y_{0})}}}$

називається умовною щільностю ймовірності випадкової величини ${\displaystyle X}$ за умови, що ${\displaystyle Y=y_{0}}$. Розподіл, який задається умовною функцією ймовірності, називається умовним розподілом.

Властивості умовних розподілів

• Умовні функції ймовірності і умовна щільність ймовірності є функціями ймовірності і щільністю ймовірності відповідно, тобто вони задовольняють всім необхідним умовам. Зокрема

• ${\displaystyle p_{X\mid Y}(x\mid y_{0})\geq 0,\;\forall x\in \mathbb {R} ^{m},\,y_{0}\in \mathbb {R} ^{n}}$,
• ${\displaystyle \sum \limits _{x}p_{X\mid Y}(x\mid y_{0})=1,\;\forall y_{0}\in \mathbb {R} ^{n}}$,

і

• ${\displaystyle f_{X\mid Y}(x\mid y_{0})\geq 0}$ майже усюди на ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m+n}}$,
• ${\displaystyle \int \limits _{\mathbb {R} ^{m}}f_{X\mid Y}(x\mid y_{0})\,dx=1,\;\forall y_{0}\in \mathbb {R} ^{n}}$,

• Справедливі формули повної ймовірності:

• ${\displaystyle p_{X}(x)=\sum \limits _{y}p_{X\mid Y}(x\mid y)\,p_{Y}(y)}$,
• ${\displaystyle f_{X}(x)=\int \limits _{\mathbb {R} ^{n}}f_{X\mid Y}(x\mid y)\,f_{Y}(y)\,dy}$.

• Якщо випадкові величини ${\displaystyle X}$ і ${\displaystyle Y}$ незалежні то умовний розподіл дорівнює безумовному:

${\displaystyle p_{X\mid Y}(x\mid y_{0})=p_{x}(x),\;\forall x\in \mathbb {R} ^{m}}$

або

${\displaystyle f_{X\mid Y}(x\mid y_{0})=f_{x}(x)}$ майже усюди на ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$.

Умовні ймовірності

Дискретні випадкові величини

Якщо ${\displaystyle A}$ - зліченна підмножина ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$, то

${\displaystyle \mathbb {P} (X\in A\mid Y=y_{0})=\sum \limits _{x\in A}p_{X\mid Y}(x\mid y_{0})}$.

Абсолютно неперервні випадкові величини

Якщо ${\displaystyle A\in {\mathcal {B}}(\mathbb {R} ^{m})}$ - борелівська підмножина ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$, то припускаємо за визначенням

${\displaystyle \mathbb {P} (X\in A\mid Y=y_{0})=\int \limits _{A}f_{X\mid Y}(x\mid y_{0})\,dx}$.

Зауваження. Умовна ймовірність у лівій частині рівності не може бути визначена класичним способом, оскільки ${\displaystyle \mathbb {P} (Y=y_{0})=0}$.

Умовні математичні сподівання

Дискретні випадкові величини

• Умовне математичне сподівання випадкової величини ${\displaystyle X}$ за умови ${\displaystyle Y=y_{0}}$ виходить підсумовуванням щодо умовного розподілу:

${\displaystyle \mathbb {E} [X\mid Y=y_{0}]=\sum \limits _{x}x\ p_{X\mid Y}(x\mid y_{0})}$.

• Умовне математичне сподівання ${\displaystyle X}$ за умови випадкової величини ${\displaystyle Y}$ - це третя випадкова величина ${\displaystyle \mathbb {E} [X\mid Y]}$, що задається рівністю

${\displaystyle \mathbb {E} [X\mid Y](\omega )=\mathbb {E} [X\mid Y=Y(\omega )],\;\omega \in \Omega }$.

Абсолютно неперервні випадкові величини

• Умовне математичне сподівання випадкової величини ${\displaystyle X}$ за умови ${\displaystyle Y=y_{0}}$ виходить інтеграцією щодо умовного розподілу:

${\displaystyle \mathbb {E} [X\mid Y=y_{0}]=\int \limits _{\mathbb {R} ^{m}}x\,f_{X\mid Y}(x\mid y_{0})\,dx}$.

• Умовне математичне сподівання ${\displaystyle X}$ за умови випадкової величини ${\displaystyle Y}$ - це третя випадкова величина ${\displaystyle \mathbb {E} [X\mid Y]}$, що задається рівністю

${\displaystyle \mathbb {E} [X\mid Y](\omega )=\mathbb {E} [X\mid Y=Y(\omega )],\;\omega \in \Omega }$.

Джерела

• Карташов М. В. Імовірність, процеси, статистика. — Київ : ВПЦ Київський університет, 2007. — 504 с.
• Гнеденко Б. В. Курс теории вероятностей. — 6-е изд. — Москва : Наука, 1988. — 446 с.(рос.)
• Гихман И. И., Скороход А. В., Ядренко М. В. Теория вероятностей и математическая статистика. — Київ : Вища школа, 1988. — 436 с.(рос.)
• Capinski, Marek, Kopp, Peter E. Measure, Integral and Probability. — Springer Verlag 2004. — ISBN 9781852337810
• Williams D. Probability with Martingales/ — Cambridge University Press, 1991/ — ISBN 0-521-40605-6