Хокейну кар'єру розпочав 2000 року в ГЮХЛК виступами за клуб «Шавініган Катарактес».
З сезону 2002/03 виступає в лізі ХЛСУ захищаючи кольори команди «Грінвілл Гроул», згодом «Батон-Руж Кінгфіш». «Колумбія Інферно» став третім клубом цієї лізі, де виступав Александр.
21 жовтня 2003, Барроуз укладає контракт з клубом «Манітоба Мус» (АХЛ).[1] Правда в наступному сезоні 2004/05 Александр зіграв чотири матчі за команду «Колумбія Інферно».
Перед сезоном 2005/06 його запрошують до тренувального табору «Ванкувер Канакс», після якого він знову повертається до складу «Манітоба Мус». Провівши 33 матчі в АХЛ, 2 січня 2006 Барроуз повертається до складу «Канакс».[2] Через вісім днів Александр закидає першу шайбу в НХЛ у ворота Еда Бельфура («Торонто Мейпл Ліфс»). 27 березня 2006, відзначається хет-триком у матчі проти «Лос-Анджелес Кінгс» (7–4).[3]
Наступний сезон став для Барроуза першим повноцінним, він відіграв 81 гру, але набрав лише 9 очок (3+6).
У сезоні 2007/08 разом з Раєном Кеслером Барроуз грає в третій ланці «Канакс».[4][5] Це дало свої результати 31 очко (12+19) у 82 матчах.
12 лютого 2009 Александра перевели до першої ланки «Канакс», де він грає разом з братами Седінами Генріком та Даніелем. Незабаром після цього клуб продовжує з ним контракт ще на чотири роки збільшивши суму самого контракту до $8 мільйонів доларів.[6] Того ж сезону він був серед номінантів на приз Білла Мастерсона.
5 та 7 січня 2010 Барроуз двічі робить хет-трик, спочатку в матчі проти «Колумбус Блю-Джекетс», а потім і проти «Фінікс Койотс».[7] Це вперше серед гравців «Канакс» з сезону 1985/86, коли відзначився фін Петрі Скріко. 11 січня 2010, Александр став зіркою тижня НХЛ.
Перед сезоном 2010/11 Барроуз переніс операцію на руці, тому кількість матчів у регулярному сезоні, яку він провів нараховувала лише 72 матчі. Цього сезону «Ванкувер Канакс» вперше за останні сімнадцять років став фіналістом Кубка Стенлі. Сам александр провів у плей-оф 25 матчів набрав 17 очок і це четвертий результат серед гравців клубу.
Наступний сезон став не таким вдалим для клубу, але нападник покращив свої особисті результати у 80 матчах 52 очка (28+24).
16 березня 2013, Барроуз на шостій секунді закинув шайбу в ворота «Детройт Ред Вінгз» побивши рекорд, що належав Тревору Ліндену (9 секунд), і ця шайба Александра стала четвертою закинутою, як найшвидша в історії НХЛ.[8]
Сезон 2013/14 став одним з найгірших 15 очок (5+10) у 49 матчах, причому свою першу шайбу він закинув аж в 36 матчі чемпіонату.
У сезоні 2014/15 в першій ланці «Канакс» сталися зміни, замість Барроуза компанію братам Седінам склав чех Радім Врбата. Тож відтепер Александр виступав в другій ланці клубу.
Сезон 2015/16 став останнім коли діяв контракт між клубом та гравцем і «Канакс» не став переукладати угоду. У сезоні 2016/17 після 55 матчів у складі ванкуверців Барроуз погодився на обмін між клубами «Ванкувер Канакс» та «Оттава Сенаторс». 2 березня 2017, вже дебютував у складі нового клубу в переможному матчі проти «Колорадо Аваланч» 2–1.