Алгебра (теорія множин)

Алгебра множин в теорії множин — непорожня система підмножин деякої множини ${\displaystyle X}$, замкнена щодо операцій доповнення (різниці) і об'єднання (суми).

Визначення

Сім'я ${\displaystyle {\mathfrak {A}}\subset 2^{X}}$ підмножин множини ${\displaystyle X}$ (тут ${\displaystyle 2^{X}}$ — булеан) називається алгеброю, якщо:

1. ${\displaystyle \varnothing \in {\mathfrak {A}}.}$
2. Якщо множина ${\displaystyle A\in {\mathfrak {A}}}$, то і її доповнення ${\displaystyle X\setminus A\in {\mathfrak {A}}.}$
3. Об'єднання двох множин ${\displaystyle A,B\in {\mathfrak {A}}}$ також належить ${\displaystyle {\mathfrak {A}}.}$

Зауваження

• За означенням, якщо алгебра містить множину ${\displaystyle A}$, вона містить і її доповнення. Об'єднанням ${\displaystyle A}$ з її доповненням є вихідна множина ${\displaystyle X}$. Доповненням до множини ${\displaystyle X}$ є порожня множина. Це означає, що множина ${\displaystyle X}$ і порожня множина містяться в алгебрі за означенням.
• Зважаючи на властивості операцій над множинами, алгебра множин також є замкнутою щодо операцій перетину і симетричної різниці двох множин.
• Алгебра множин є прикладом алгебри з одиницею, де операцією «множення» є перетин множин, а операцією «додавання» є симетрична різниця.
• Якщо вихідна множина ${\displaystyle X}$ є простором елементарних подій, то алгебра ${\displaystyle {\mathfrak {A}}}$ називається алгеброю подій — ключове поняття теорії ймовірностей та пов'язаних з нею математичних дисциплін, що має унікальну інтерпретацію та відіграє самостійну роль у математиці.

Алгебра подій

Алгебра подій (в теорії ймовірностей) — алгебра підмножин простору елементарних подій ${\displaystyle \Omega }$, елементами якого є елементарні події.

Як і належить алгебрі множин, алгебра подій містить неможливу подію (порожня множина) і замкнута щодо теоретико-множинних операцій, для скінченної кількості множин . Достатнь вимагати, щоб алгебра подій була замкнута щодо двох операцій, наприклад, перетину і доповнення, з чого відразу випливає її замкнутість щодо будь-яких інших теоретико-множинних операцій. Алгебра подій яка є замкнутою щодо теоретико-множинних операцій, із зліченною кількістю множин, називається [сигма-алгебра|сигма-алгеброю]] подій.

У теорії ймовірностей зустрічаються такі алгебри і сигма-алгебри подій:

• алгебра скінченних підмножин ${\displaystyle \Omega }$;
• сигма-алгебра зліченних підмножин ${\displaystyle \Omega }$;
• алгебра підмножин ${\displaystyle {\mathbb {R} }^{n}}$, утворена об'єднаннями скінченної кількості інтервалів;
• сигма-алгебра борелівських підмножин топологічного простору ${\displaystyle \Omega }$, тобто найменша сигма-алгебра, що містить всі відкриті підмножини ${\displaystyle \Omega }$;
• алгебра циліндрів у просторі функцій та сигма-алгебра, ними породжена.

Подія ${\displaystyle A+B}$ або ${\displaystyle A\cup B}$, яка полягає в тому, що з двох подій ${\displaystyle A}$ і ${\displaystyle B}$ відбувається принаймні одна, називається сумою подій ${\displaystyle A}$ і ${\displaystyle B}$.

Ймовірнісний простір — алгебра подій із заданою функцією ймовірності ${\displaystyle \mathbb {P} }$, тобто сигма-адитивною скінченною мірою, областю визначення якої є алгебра подій, де ${\displaystyle \mathbb {P} (\Omega )=1}$.

Будь-яка сигма-адитивна ймовірність на алгебрі подій однозначно продовжується до сигма-адитивної ймовірності, визначеної на сигма-алгебрі подій, породженої даною алгеброю подій.