Аксіома Паша

Аксіо́ма Па́ша — одна з аксіом порядку в системі аксіом Гільберта евклідової геометрії.

Формулювання аксіоми використовує поняття «лежати всередині відрізка», причому відрізок тут розглядається як система двох різних точок ${\displaystyle A}$ і ${\displaystyle B}$, які належать одній прямій; точки, що лежать між точками ${\displaystyle A}$ і ${\displaystyle B}$, називають точками відрізка (або внутрішніми точками відрізка). Поняття «між» (лежати між) описується групою аксіом порядку, куди входить і аксіома Паша, яка формулюється так:

Нехай ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$, ${\displaystyle C}$ — три точки, що не лежать на одній прямій, і ${\displaystyle a}$ — пряма в площині ${\displaystyle (ABC)}$ цих трьох точок, яка не проходить через жодну з точок ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$, ${\displaystyle C}$; якщо при цьому пряма проходить через одну з точок відрізка ${\displaystyle AB}$, то вона має пройти через одну з точок відрізка ${\displaystyle AC}$ або через одну з точок відрізка ${\displaystyle BC}$.

Аксіома Паша є аксіомою абсолютної геометрії. За допомогою інших гільбертових аксіом порядку можна довести, що пряма ${\displaystyle a}$ не може перетнути обидва відрізки ${\displaystyle AC}$ і ${\displaystyle BC}$.

Історія

Аксіому вперше сформулював Моріц Паш^[ru][1].

Див. також

• Аксіоми Пеано

Примітки

1. Pasch M., Vorlesungen über neuere Geometrie, Lpz., 1882

Література

• Гильберт Д., Основания геометрии [Архівовано 28 липня 2011 у Wayback Machine.], пер. с нем., Л., «Сеятель», 1923.