อนิยาม

สำหรับวิชาคณิตศาสตร์ ตรรกศาสตร์ และระบบรูปนัย อนิยาม คือแนวคิดที่ไม่ได้นิยาม ที่สำคัญอนิยามไม่ได้นิยามโดยแนวคิดที่นิยามไว้ก่อนหน้า แต่เกิดจากแรงบันดาลใจโดยวิสาสะ โดยมากเกิดจากสหัชญาณ และประสบการณ์ในชีวิตประจำวัน บทบาทของอนิยามในทฤษฎีบทสัจพจน์หรือระบบรูปนัยอื่น ๆ เหมือนกันกับบทบาทของอนิยาม

อนิยามในวิชาทฤษฎีสัจพจน์ บางครั้งจะกล่าวว่า "ได้นิยาม" โดยอนิยามอย่างน้อยหนึ่งอนิยาม แต่อาจทำให้เข้าใจผิดได้ ระบบรูปนัยไม่สามารถกำจัดอนิยามทั้งหลายได้เพราะการนิยามถอยหลังอนันต์ครั้ง

อัลเฟรด ตาร์สกี อธิบายบทบาทของอนิยามไว้ดังนี้:

เมื่อเราตั้งกฎอย่างหนึ่ง เราแยกแยะชุดของนิยามมาชุดเล็ก ๆ นิยามชุดนี้เราสามารถเข้าใจได้ทันที และเราเรียกการแสดงนี้เราเรียกว่า ศัพท์พื้นฐาน หรือ อนิยาม และเรานำศัพท์เหล่านี้มาใช้งานโดยไม่ทราบความหมาย ในขณะเดียวกันเรานำหลักการนี้มาใช้: จะไม่ใช้ศัพท์ใด ๆ ในกฎนี้มาพิจารณา เว้นแต่ความหมายได้กำหนดโดยอนิยามหรือศัพท์ใด ๆ ที่อธิบายความหมายไว้ก่อนหน้า ประโยคที่ตัดสินความหมายของศัพท์ด้วยวิธีนี้เรียก นิยาม...

ความคิดรวบยอดพื้นฐานของ เซต ในทฤษฎีเซตเชิงสัจพจน์เป็นตัวอย่างของอนิยาม มารี ไทล์ เขียน:

'นิยาม' ของ 'เซต' เป็นคำนิยามน้อยกว่าการอธิบายบางสิ่งซึ่งได้สถานะของศัพท์พื้นฐานอันไม่ได้นิยาม

มีหลักฐานแสดงว่าเธอยกคำพูดของเฟลิก เฮาส์ดอร์ฟฟ์ว่า : "เซตสร้างขึ้นโดยจัดวัตถุเดี่ยว ๆ รวมกันเป็นเซตทั้งเซต เซตเป็นความคิดแบบพหูพจน์เป็นหน่วยเดียว"

เมื่อระบบสัจพจน์ระบบหนึ่งเริ่มกล่าวถึงสัจพจน์ อนิยามอาจไม่ได้กล่าวถึงอย่างแจ่มแจ้ง ซูซาน ฮาก (1978) เขียนว่า "เซตของอนิยามบางครั้งกล่าวว่าให้นิยามโดยอ้อมของอนิยาม"

ตัวอย่าง พบใน

• ทฤษฎีเซตสามัญ เซตว่างเป็นอนิยาม (การกล่าวว่าเซตว่างมีอยู่เป็นสัจพจน์โดยอ้อม)
• สัจพจน์ของเปอาโน ฟังก์ชันตัวตามหลังและเลขศูนย์เป็นอนิยาม
• ระบบสัจพจน์ อนิยามจะขึ้นอยู่กับเซตของสัจพจน์ที่เลือกมาสำหรับระบบ เรื่องนี้อธิบายโดยอเลสซานโดร ปาโดอา ที่การประชุมนานาชาติของนักคณิตศาสตร์ ในปารัสในปี 1900
• เรขาคณิตแบบยุคลิด ภายใต้ระบบสัจพจน์ของดาฟิด ฮิลแบร์ท อนิยามได้แก่ จุด, เส้น, ระนาบ, ความเท่ากันทุกประการ, การอยู่ระหว่าง และ การเชื่อมต่อ
• เรขาคณิตแบบยุคลิด ภายใต้ระบบสัจพจน์ของจูเซ็ปเป เปอาโน อนิยามได้แก่ จุด, ส่วนของเส้นตรง และ การเคลื่อนไหว
• ปรัชญาคณิตศาสตร์ เบอร์ทรันด์ รัสเซลล์พิจารณา "สิ่งที่ไม่สามารถนิยามได้ในคณิตศาสตร์" ว่าสร้างกรณีความเป็นตรรกศาสตร์ ในหนังสือ The Principles of Mathematics (1903) ที่เขาเขียน

ดูเพิ่ม

• ทฤษฎีเซตเชิงสัจพจน์
• พื้นฐานเรขาคณิต
• พื้นฐานคณิตศาสตร์
• ตรรกคณิตศาสตร์
• ทฤษฎีวัตถุ

อ้างอิง

• Susan Haak (1978) Philosophy of Logics, page 245, Cambridge University Press
• Alfred Tarski (1946) Introduction to Logic and the Methodology of the Deductive Sciences, page 118, Oxford University Press.
• Mary Tiles (2004) The Philosophy of Set Theory, page 99