ศูนย์มีเครื่องหมาย

ศูนย์มีเครื่องหมาย หมายถึงจำนวน 0 (ศูนย์) ที่ถูกกำกับด้วยเครื่องหมายบวกหรือลบ ได้แก่ −0 (ลบศูนย์) และ +0 (บวกศูนย์) ในเลขคณิตธรรมดาทั่วไป −0 = +0 = 0 อย่างไรก็ตาม การแทนจำนวนบางระบบในคอมพิวเตอร์อนุญาตให้มีศูนย์สองชนิดนี้ได้ ซึ่งเกิดขึ้นใน เครื่องหมายและขนาด กับ ส่วนเติมเต็มหนึ่ง ของการแทนจำนวนมีเครื่องหมายสำหรับจำนวนเต็ม และในการแทนจำนวนจุดลอยตัวส่วนใหญ่ จำนวน 0 มักจะถูกเข้ารหัสเป็น +0 แต่ก็สามารถแทนด้วย −0 อย่างใดอย่างหนึ่งก็ได้

มาตรฐาน IEEE 754 สำหรับเลขคณิตของจำนวนจุดลอยตัว (ปัจจุบันมีใช้ในคอมพิวเตอร์และภาษาโปรแกรมส่วนใหญ่ที่รองรับจำนวนจุดลอยตัว) จำเป็นต้องมีทั้ง +0 และ −0 ศูนย์ทั้งสองชนิดสามารถพิจารณาว่าเป็นรูปแบบผันแปรอันหนึ่งของเส้นจำนวนจริงขยาย ตัวอย่างเช่น 1/−0 = −∞ และ 1/+0 = +∞ ซึ่งการหารด้วยศูนย์จะเป็นอนิยามเฉพาะ ±0/±0 กับ ±∞/±∞

ศูนย์ที่มีเครื่องหมายลบสะท้อนให้เห็นถึงมโนทัศน์ของคณิตวิเคราะห์เกี่ยวกับการมีค่าเข้าใกล้ 0 จากด้านที่มีค่าต่ำกว่าเป็นลิมิตด้านเดียว ซึ่งอาจเขียนได้เป็น x → 0^−, x → 0− หรือ x → ↑0 สัญกรณ์ "−0" ก็ยังใช้สำหรับเขียนแทนจำนวนลบขนาดเล็กที่ถูกปัดเศษให้เป็นศูนย์อย่างไม่เป็นทางการ มโนทัศน์ของลบศูนย์ก็มีการประยุกต์ใช้เชิงทฤษฎีบางอย่างในกลศาสตร์เชิงสถิติและสาขาอื่น ๆ

การรวมศูนย์มีเครื่องหมายลงใน IEEE 754 เอ่ยอ้างว่ามันช่วยให้บรรลุความแม่นยำเชิงจำนวนในปัญหาวิกฤตบางประการ [1] โดยเฉพาะอย่างยิ่งเมื่อคำนวณด้วยฟังก์ชันมูลฐานเกี่ยวกับจำนวนเชิงซ้อน [2] แต่ในทางกลับกัน มโนทัศน์ของศูนย์มีเครื่องหมายขัดกับสมมติฐานทั่วไปที่สร้างขึ้นในขอบเขตต่าง ๆ ของคณิตศาสตร์ว่า ลบศูนย์ก็คือสิ่งเดียวกับศูนย์ การแทนจำนวนที่อนุญาตให้มีลบศูนย์อาจเป็นต้นตอแห่งความผิดพลาดของโปรแกรม เนื่องจากนักพัฒนาซอฟต์แวร์อาจไม่ได้ตระหนักหรือลืมไปว่า ขณะที่การแทนศูนย์ทั้งสองชนิดมีพฤติกรรมเท่ากันภายใต้การเปรียบเทียบจำนวน พวกมันมีรูปแบบบิตที่ต่างกัน และส่งผลให้เกิดผลลัพธ์จากการดำเนินการบางชนิดต่างกันด้วย

การแทนในคอมพิวเตอร์

การเข้ารหัสส่วนเติมเต็มสอง (two's complement) ที่ใช้กันอย่างกว้างขวางไม่อนุญาตให้มีค่าลบศูนย์ การแทนจำนวนมีเครื่องหมายแบบ 1+7 บิตสำหรับจำนวนเต็ม ลบศูนย์แทนด้วยค่า 1000 0000 และการแทนส่วนเติมเต็มหนึ่ง (one's complement) แบบ 8 บิต ลบศูนย์แทนด้วยค่า 1111 1111 การเข้ารหัสทั้งสามชนิดนั้น บวกศูนย์แทนด้วยค่า 0000 0000

ลบศูนย์ในการแทนจำนวนจุดลอยตัว IEEE 754 แบบ 32 บิต

ในจำนวนจุดลอยตัวฐานสองของ IEEE 754 ค่าศูนย์ทั้งสองแทนโดยกำหนดให้บิตเลขชี้กำลังและเลขนัยสำคัญเป็นศูนย์ทั้งหมด สำหรับลบศูนย์ก็กำหนดให้บิตเครื่องหมายเป็นหนึ่ง เราอาจได้ลบศูนย์เป็นผลลัพธ์จากการคำนวณเฉพาะอย่าง ตัวอย่างเช่นผลจากภาวะน้อยเกินเก็บเชิงเลขคณิต (arithmetic underflow) ของจำนวนลบ หรือ −1.0*0.0 หรือเพียงแค่ −0.0

ในการเข้ารหัสจำนวนจุดลอยตัวฐานสิบของ IEEE 754 ลบศูนย์แทนโดยกำหนดให้เลขชี้กำลังเป็นค่าใดก็ได้ที่ใช้ได้ในพิสัยของการเข้ารหัส เลขนัยสำคัญกำหนดให้เป็นศูนย์ และบิตเครื่องหมายเป็นหนึ่ง

สมบัติและการจัดการ

มาตรฐาน IEEE 754 เกี่ยวกับจำนวนจุดลอยตัวได้ระบุพฤติกรรมของบวกศูนย์และลบศูนย์ไว้ภายใต้การดำเนินการหลายอย่าง ผลลัพธ์ที่ได้อาจขึ้นอยู่กับการตั้งค่าภาวะการปัดเศษแบบ IEEE

เลขคณิต

การคูณและการหารปฏิบัติตามกฎการผสานเครื่องหมายอันเป็นปกติดังนี้

• ${\displaystyle {\frac {-0}{\left|x\right|}}=-0\,\!}$ (สำหรับค่า x ที่ไม่ใช่ศูนย์)
• ${\displaystyle (-0)\cdot (-0)=+0\,\!}$
• ${\displaystyle \left|x\right|\cdot (-0)=-0\,\!}$

การบวกและการลบถูกจัดการโดยเฉพาะถ้าค่าต่าง ๆ อาจถูกตัดออกได้ ดังนี้

• ${\displaystyle x+(\pm 0)=x\,\!}$
• ${\displaystyle (-0)+(-0)=(-0)-(+0)=-0\,\!}$
• ${\displaystyle (+0)+(+0)=(+0)-(-0)=+0\,\!}$
• ${\displaystyle x-x=x+(-x)=+0\,\!}$ (สำหรับจำนวนจำกัด x ใด ๆ; หรือเท่ากับ −0 กรณีปัดเศษเข้าสู่จำนวนลบ)

เนื่องจากมีค่าลบศูนย์อยู่ในระบบการแทนจำนวน ประโยค z = −(x − y) และ z = (−x) − (−y) จึงไม่สามารถลดทอนให้เป็น z = y − x ได้ เมื่อ x, y, z เป็นจำนวนจุดลอยตัว

กฎพิเศษอื่น ๆ มีดังนี้

• ${\displaystyle {\sqrt {-0}}=-0\,\!}$ [3]
• ${\displaystyle {\frac {-0}{-\infty }}=+0\,\!}$ (ปฏิบัติตามกฎเครื่องหมายสำหรับการหาร)
• ${\displaystyle {\frac {\left|x\right|}{-0}}=-\infty \,\!}$ (สำหรับค่า x ที่ไม่ใช่ศูนย์; ปฏิบัติตามกฎเครื่องหมายสำหรับการหาร)
• ${\displaystyle {\pm 0}\times {\pm \infty }={\mbox{NaN}}\,\!}$ (ค่าไม่ใช่จำนวน (อังกฤษ: NaN (Not a Number)) หรือขัดจังหวะให้แก่รูปแบบยังไม่กำหนด)
• ${\displaystyle {\frac {\pm 0}{\pm 0}}={\mbox{NaN}}\,\!}$

การหารค่าที่ไม่เป็นศูนย์ด้วยค่าศูนย์ ทำให้ตัวบ่งชี้ (flag) ของการหารด้วยศูนย์ถูกกำหนดเป็นหนึ่ง และการดำเนินการที่ให้ผลลัพธ์เป็นไม่ใช่จำนวน ก็ทำให้ตัวบ่งชี้ของการดำเนินการที่ใช้ไม่ได้ ถูกกำหนดเป็นหนึ่งเช่นกัน การจัดการความผิดปรกติจะถูกเรียกใช้ถ้ามีสำหรับตัวบ่งชี้ที่เกี่ยวข้อง

การเปรียบเทียบ

ลบศูนย์และบวกศูนย์เมื่อดำเนินการเปรียบเทียบแบบธรรมดาควรจะมีค่าเท่ากันตามมาตรฐาน IEEE 754 ตัวอย่างเช่นตัวดำเนินการ == ของภาษาซีและภาษาจาวา ในภาษาเช่นว่านั้น จำเป็นต้องเขียนโปรแกรมด้วยกลวิธีพิเศษเพื่อแยกแยะสองค่านี้ออกจากกัน ซึ่งมีหลายแนวทางอาทิ

• การเล่นชนิดข้อมูล (type punning) โดยเปลี่ยนให้เป็นชนิดจำนวนเต็ม แล้วเปรียบเทียบรูปแบบบิต
• การใช้ฟังก์ชัน copysign() ของ IEEE 754 เพื่อคัดลอกเครื่องหมายของศูนย์ไปยังจำนวนอื่นที่ไม่ใช่ศูนย์
• การคำนวณส่วนกลับของศูนย์เพื่อให้ได้ 1/+0 = +∞ หรือ 1/−0 = −∞ อย่างใดอย่างหนึ่ง

การแปลงชนิดข้อมูล (type casting) เป็นชนิดจำนวนเต็มจะไม่ได้ผลเสมอไป โดยเฉพาะอย่างยิ่งบนระบบส่วนเติมเต็มสอง

การใช้งานทางวิทยาศาสตร์

−0 สามารถใช้แทนอุณหภูมิต่ำกว่าศูนย์ในอุตุนิยมวิทยา โดยเฉพาะในสเกลเซลเซียส −0 มักเป็นสิ่งสำคัญด้วยเหตุผลทางสถิติ เมื่อมีค่าไม่ต่ำพอที่จะปัดเศษให้เป็น −1 เช่นอุณหภูมิที่ −0.2 องศาเซลเซียส และค่านี้ไม่สามารถรายงานผลให้เป็น 0 องศาเซลเซียส เนื่องจากค่า 0 องศาจะไม่ถือว่าต่ำกว่าศูนย์ สำหรับการเก็บสถิติวันที่มีอุณหภูมิต่ำกว่าศูนย์องศา ซึ่งเป็นข้อมูลสถิติพื้นฐานของการเปรียบเทียบความหนาวเย็นในฤดูหนาว ดังนั้นจึงไม่สามารถละเลยไปได้

ในเรื่องของกลศาสตร์เชิงสถิติ ระบบเฉพาะที่อยู่ในสถานะของการผกผันประชากร (population inversion) อาจถูกพิจารณาว่ามีอุณหภูมิสัมบูรณ์ (absolute temperature) เท่ากับ −0 ซึ่งเป็นค่าสูงสุดเท่าที่เป็นไปได้

อ้างอิง

1. William Kahan, "Branch Cuts for Complex Elementary Functions, or Much Ado About Nothing's Sign Bit", in The State of the Art in Numerical Analysis (eds. Iserles and Powell), Clarendon Press, Oxford, 1987.
2. William Kahan, Derivatives in the Complex z-plane, p10.
3. Cowlishaw, Mike (7 April 2009). "Decimal Arithmetic: Arithmetic operations - square-root". speleotrove.com (IBM Corporation). สืบค้นเมื่อ 7 December 2010.

• "Floating point types". MSDN C# Language Specification. สืบค้นเมื่อ October 15. {{cite web}}: ตรวจสอบค่าวันที่ใน: |accessdate= (help); ไม่รู้จักพารามิเตอร์ |accessyear= ถูกละเว้น แนะนำ (|access-date=) (help)
• "Division operator". MSDN C# Language Specification. สืบค้นเมื่อ October 15. {{cite web}}: ตรวจสอบค่าวันที่ใน: |accessdate= (help); ไม่รู้จักพารามิเตอร์ |accessyear= ถูกละเว้น แนะนำ (|access-date=) (help)
• Thomas Wang (March 2000). "Java Floating-Point Number Intricacies". September 2000. คลังข้อมูลเก่าเก็บจากแหล่งเดิมเมื่อ 2005-09-21. สืบค้นเมื่อ 2008-03-11.
• "Specification". General Decimal Arithmetic: Encoding Strawman 4d, version 0.96. สืบค้นเมื่อ October 16. {{cite web}}: ตรวจสอบค่าวันที่ใน: |accessdate= (help); ไม่รู้จักพารามิเตอร์ |accessyear= ถูกละเว้น แนะนำ (|access-date=) (help) — a decimal floating point specification that includes negative zero
• Kittel, Charles (1980). Thermal Physics. W. H. Freeman & Company. ISBN 0716710889. {{cite book}}: ไม่รู้จักพารามิเตอร์ |coauthors= ถูกละเว้น แนะนำ (|author=) (help)

แหล่งข้อมูลอื่น

• Michael Ingrassia. "Fortran 95 SIGN Change". Sun Developer Network. สืบค้นเมื่อ October 15. {{cite web}}: ตรวจสอบค่าวันที่ใน: |accessdate= (help); ไม่รู้จักพารามิเตอร์ |accessyear= ถูกละเว้น แนะนำ (|access-date=) (help) — the changes in the Fortran SIGN function in Fortran 95 to accommodate negative zero
• "JScript data types". MSDN JScript. สืบค้นเมื่อ October 16. {{cite web}}: ตรวจสอบค่าวันที่ใน: |accessdate= (help); ไม่รู้จักพารามิเตอร์ |accessyear= ถูกละเว้น แนะนำ (|access-date=) (help) — JScript's floating point type has negative zero by definition
• "A look at the floating-point support of the Java virtual machine". Javaworld. คลังข้อมูลเก่าเก็บจากแหล่งเดิมเมื่อ 2012-02-17. สืบค้นเมื่อ October 16. {{cite web}}: ตรวจสอบค่าวันที่ใน: |accessdate= (help); ไม่รู้จักพารามิเตอร์ |accessyear= ถูกละเว้น แนะนำ (|access-date=) (help) — representation of negative zero in the Java virtual machine
• Bruce Dawson. "Comparing floating point numbers". — how to handle negative zero when comparing floating-point numbers
• John Walker. "Minus Zero". UNIVAC Memories. สืบค้นเมื่อ October 17. {{cite web}}: ตรวจสอบค่าวันที่ใน: |accessdate= (help); ไม่รู้จักพารามิเตอร์ |accessyear= ถูกละเว้น แนะนำ (|access-date=) (help) — One's complement numbers on the UNIVAC® 1100 family computers.