มัชฌิมเลขคณิต

ในทางคณิตศาสตร์และสถิติศาสตร์ มัชฌิมเลขคณิต หรือ ค่าเฉลี่ยเลขคณิต (อาจเรียกแค่ มัชฌิม หรือ ค่าเฉลี่ย) ของรายการหนึ่ง คือผลบวกตัวเลขในรายการนั้นทุกจำนวน หารด้วยจำนวนตัวเลขในรายการ[1] รายการมักจะเป็นผลการทดลองหรือการศึกษาจากการสังเกต หรือบ่อยครั้งจะเป็นชุดของผลลัพธ์จากการสำรวจ คำว่า "มัชฌิมเลขคณิต" เป็นที่ต้องการในบางบริบทในคณิตศาตร์และสถิติเพราะมันช่วยแยกความแตกต่างจากมัชฌิมอื่นๆ เช่น มัชฌิมเรขาคณิตและ มัชฌิมฮาร์มอนิก

นอกจากจะใช้ในทางคณิตศาสตร์และสถิติศาสตร์แล้ว มีการใช้มัชฌิมเลขคณิตในสาขาวิชาต่าง ๆ ได้แก่ เศรษฐศาสตร์ มานุษยวิทยา และ ประวัติศาสตร์ ทั้งยังใช่ในสาขาวิชาอื่นๆ เกือบทั้งหมด เช่น รายได้เฉลี่ยต่อบุคคล คือ มัชฌิมเลขคณิตของรายได้ทั้งหมดต่อประชาการประทศ

ถ้ารายการของจำนวนเกี่ยวข้องกับประชากรทางสถิติจะเรียกว่า ค่าเฉลี่ยประชากร และถ้าเกี่ยวข้องกับตัวอย่างทางสถิติจะเรียกว่า ค่าเฉลี่ยของตัวอย่าง

และเมื่อมัชฌิมเลขคณิตมีค่าประมาณไม่เท่ากับมัธยฐาน รายการของจำนวน หรือการแจกแจงความถี่ จะเรียกว่ามีความเบ้ (skewness) ของข้อมูล

นิยาม

ถ้าเรากำหนดชุดข้อมูล ${\displaystyle X=(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})}$ ขึ้นมาชุดหนึ่ง มัชฌิมเลขคณิตของชุดข้อมูลนี้สามารถเขียนแทนได้ด้วยชื่อตัวแปร ${\displaystyle X}$ และมีขีดอยู่ข้างบน เช่น ${\displaystyle {\bar {x}}}$ อ่านว่า เอกซ์ บาร์

บางครั้งมีการใช้อักษรกรีก มิว ตัวเล็ก (${\displaystyle \mu }$) แทนมัชฌิมเลขคณิตของประชากรทั้งหมด หรือสำหรับตัวแปรสุ่ม ${\displaystyle X}$ ที่ได้นิยามมิชฌิมไว้แล้ว ค่าของ ${\displaystyle \mu }$ จะหมายถึงค่าคาดหมาย (expected value) ของตัวแปรสุ่มนั้น เขียนแทนได้ด้วย ${\displaystyle \mu =\operatorname {E} \{x_{i}\}}$

แต่ในทางปฏิบัติ ความแตกต่างระหว่าง ${\displaystyle \mu }$ กับ ${\displaystyle {\bar {x}}}$ ไม่สามารถสังเกตเพื่อแยกแยะได้อย่างชัดเจน เพราะเราสังเกตเพียงกลุ่มตัวอย่างหนึ่งแทนที่จะเป็นประชากรทั้งหมด และเมื่อตัวอย่างนั้นเป็นการสุ่มขึ้นมา เราจึงต้องทำเหมือนว่า ${\displaystyle {\bar {x}}}$ เป็นตัวแปรสุ่มอีกตัวหนึ่งในการอธิบายการแจกแจงความน่าจะเป็น แทนที่จะเป็น ${\displaystyle \mu }$ ซึ่งสัญกรณ์ทั้งสองอย่างสามารถคำนวณได้ด้วยสูตรเดียวกันคือ

${\displaystyle {\bar {x}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}={\frac {1}{n}}(x_{1}+\cdots +x_{n})}$

ตัวอย่างเช่น มัชฌิมเลขคณิตของข้อมูล 3 จำนวน สามารถคำนวณได้จาก ${\displaystyle {\frac {x_{1}+x_{2}+x_{3}}{3}}}$

หรือมัชฌิมเลขคณิตของข้อมูล 4 จำนวน สามารถคำนวณได้จาก ${\displaystyle {\frac {x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}}{4}}}$ เป็นต้น

มัชฌิมเลขคณิตถ่วงน้ำหนัก

มัชฌิมเลขคณิตถ่วงน้ำหนัก หรือ ค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนัก เป็นวิธีหาค่าเฉลี่ยรูปแบบหนึ่งคล้ายกับค่าเฉลี่ยเลขคณิตทั่วไป โดยจะมีปัจจัยน้ำหนัก (${\displaystyle w}$) ของข้อมูลแต่ละจุดเข้ามาใช้คำนวณด้วย มักเขียนแทนด้วยตัวอักษร ${\displaystyle {\bar {x}}_{w}}$

หากกำหนดชุดข้อมูลขึ้นมาชุดหนึ่งคือ ${\displaystyle ((x_{1},w_{1}),(x_{2},w_{2})\dots ,(x_{n},w_{n}))}$ โดย ${\displaystyle (x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})}$ คือเซ็ตข้อมูลที่เป็นตัวเลข เช่น ส่วนสูงของมนุษย์ และ ${\displaystyle (w_{1},w_{2},\dots ,w_{n})}$ คือน้ำหนักของข้อมูลแต่ละจุดซึ่งเป็นตัวเลข เช่น ความถี่ส่วนสูงของมนุษย์ ดังเช่นตารางต่อไปนี้

ส่วนสูง	ความถี่
${\displaystyle x_{1}}$	${\displaystyle w_{1}}$
${\displaystyle x_{2}}$	${\displaystyle w_{2}}$
${\displaystyle x_{3}}$	${\displaystyle w_{3}}$
...	...
${\displaystyle x_{n}}$	${\displaystyle w_{n}}$

จะสามารถคำนวณค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักของข้อมูลชุดนี้ด้วยสูตร

${\displaystyle {\bar {x}}_{w}={\frac {\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}}{\sum _{i=1}^{n}w_{i}}}}$

ทั้งนี้ หากกำหนดการถ่วงน้ำหนักทุกจุดให้ ${\displaystyle w_{i}=1}$ สูตรการคำนวณค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนัก (${\displaystyle {\bar {x}}_{w}}$) จะกลับไปเป็นสูตรค่าเฉลี่ยเลขคณิตทั่วไป (${\displaystyle {\bar {x}}}$)

ดูเพิ่ม

• มัชฌิม
• มัธยฐาน
• ฐานนิยม
• ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน
• ความแปรปรวน

อ้างอิง

1. Jacobs, Harold R. (1994). Mathematics: A Human Endeavor (Third ed.). W. H. Freeman. p. 547. ISBN 0-7167-2426-X.