Weierstrass majorantsats

Weierstrass majorantsats är inom matematiken en sats uppkallad efter Karl Weierstrass. Satsen används för att avgöra om en funktionsserie konvergerar likformigt.

Antag att ${\displaystyle (f_{n})}$ är en följd av reella eller komplexa funktioner definierade på en mängd A. Om det finns en talföljd ${\displaystyle (M_{n})}$ så att:

${\displaystyle |f_{n}(x)|\leq M_{n}}$

för alla x i A och ${\displaystyle n\geq 1}$.

Om talserien ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }M_{n}}$ konvergerar så följer det att funktionsserien ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }f_{n}(x)}$ konvergerar likformigt på A.

Bevis

Eftersom ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }M_{n}}$ konvergerar så konvergerar även ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }f_{n}(x)}$ punktvis för alla x till någon funktion f(x) (enligt jämförelsetestet).

Serien konvergerar likformigt till f om:

${\displaystyle \lim _{k\to \infty }\left\|f(x)-\sum _{n=1}^{k}f_{n}(x)\right\|=0}$

Där ${\displaystyle \|\cdot \|}$ betecknar supremumnormen. Man får då att:

${\displaystyle \left\|f(x)-\sum _{n=1}^{k}f_{n}(x)\right\|=\left\|\sum _{n=1}^{\infty }f_{n}(x)-\sum _{n=1}^{k}f_{n}(x)\right\|=}$

${\displaystyle =\left\|\sum _{n=k+1}^{\infty }f_{n}(x)\right\|\leq \sum _{n=k+1}^{\infty }\|f_{n}(x)\|\leq \sum _{n=k+1}^{\infty }M_{n}\rightarrow 0}$ då ${\displaystyle k\rightarrow \infty }$

vilket visar den likformiga konvergensen.

Källor

Funktionsföljder och serier, Lennart Hellström, Februari 2002