Slutet hölje

Inom matematik är det slutna höljet till en mängd M mängden av alla punkter som, intuitivt uttryckt, ligger "nära" M.

Definition

Låt M vara en mängd och låt L vara mängden av alla M:s randpunkter. Då definieras det slutna höljet av M som unionen av M och L:

${\displaystyle {\overline {M}}=M\cup L}$

Detta kan även uttryckas som att slutna höljet till M är M med sin rand:

${\displaystyle {\overline {M}}=M\cup \partial M}$

Egenskaper

Det slutna höljet har följande egenskaper:

${\displaystyle M\subseteq {\overline {M}}}$.

${\displaystyle {\overline {M}}}$ är den minsta slutna mängden som innehåller M.

${\displaystyle {\overline {M}}}$ är snittet av alla slutna mängder som innehåller hela M.

${\displaystyle M}$ är sluten om och endast om ${\displaystyle {\overline {M}}=M}$.

Om ${\displaystyle M\subset N}$ så följer att ${\displaystyle {\overline {M}}\subset {\overline {N}}}$.

Ibland används den andra eller den tredje egenskapen som definitionen av det slutna höljet.

Exempel

• I alla rum X så är det slutna höljet av den tomma mängden den tomma mängden och ${\displaystyle {\overline {X}}=X}$.
• Det slutna höljet till det öppna intervallet ${\displaystyle ]0,1[}$ är det slutna intervallet ${\displaystyle [0,1]}$.
• Det slutna höljet till de rationella talen är de reella talen, man säger att de rationella talen är en tät delmängd till de reella talen.
• I komplexa talplanet är det slutna höljet av ${\displaystyle |z|<1\,}$ (den öppna skivan) lika med ${\displaystyle |z|\leq 1}$ (den slutna skivan).

Slutet hölje som operator

I ett rum X, låt M vara en mängd, ${\displaystyle M^{-}}$ det slutna höljet till M och ${\displaystyle M^{o}}$ det inre till M. Följande samband kopplar ihop det slutna höljet med det inre:

• ${\displaystyle M^{-}=X\setminus (X\setminus M)^{o}}$
• ${\displaystyle M^{o}=X\setminus (X\setminus M)^{-}}$

Där ${\displaystyle X\setminus M}$ är komplementet till M i X. Kan även utläsas X (mängd)minus M.