Pseudometriskt rum

I matematiken är ett pseudometriskt rum en mängd med en tilldelad avståndsfunktion, en pseudometrik, i likhet med ett metriskt rum, men i ett pseudometriskt rum kan avståndsfunktionen bli noll även om elementen inte är lika.

Ibland, framförallt inom funktionalanalys, används termen semimetrisk rum om pseudometriska rum; dock har semimetriskt rum en annan betydelse inom topologi.

Definition

Ett pseudometriskt rum är ett par ${\displaystyle (X,d)}$ där ${\displaystyle X}$ är en mängd och ${\displaystyle d}$ är en pseudometrik. Villkoren för en pseudometrik är, för ${\displaystyle x,y\in X}$:

${\displaystyle d(x,y)\geq 0}$

${\displaystyle d(x,x)=0\,}$

${\displaystyle d(x,y)=d(y,x)\,}$ (symmetri)

${\displaystyle d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z)}$ (triangelolikhet)

Skillnaden mellan en metrik och en pseudometrik är alltså att för en pseudometrik implicerar inte ${\displaystyle d(x,y)=0}$ att ${\displaystyle x=y}$, vilket är fallet för en vanlig metrik.

Exempel

Pseudometriska rum dyker upp i funktionalanalys. Om man till exempel betraktar ett rum ${\displaystyle X}$ och utifrån detta skapar ett nytt rum ${\displaystyle {\mathcal {F}}(X)}$ som består av alla funktioner ${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }$. Om vi väljer ett speciellt element ${\displaystyle x_{0}\in X}$, kan vi få en pseudometrik på ${\displaystyle {\mathcal {F}}(X)}$ genom:

${\displaystyle d(f,g)=|f(x_{0})-g(x_{0})|\,}$.

där ${\displaystyle f,g\in {\mathcal {F}}(X)}$.

I ett vektorrum kan man inducera en pseudometrik från en pseudonorm, ${\displaystyle p}$ genom:

${\displaystyle d(x,y)=p(x-y)\,}$

Metriska rum från pseudometriska rum

Man kan, utgående från ett pseudometriskt rum, bilda ett metriskt rum.

Låt (X,d) vara ett pseudometriskt rum. Definiera en ekvivalensrelation, ${\displaystyle \sim }$, på X genom:

${\displaystyle x\sim y\,}$ om ${\displaystyle d(x,y)=0\,}$

och låt ${\displaystyle X^{*}}$ vara mängden av ekvivalensklasser som uppstår. Definiera sedan metriken:

${\displaystyle d^{*}([x],[y])=d(x,y)\,}$

då ${\displaystyle (X^{*},d^{*})}$ är ett metriskt rum.

Exempel

Det viktiga exempel för den här ekvivalensrelation är ${\displaystyle L^{p}}$-rummet när ${\displaystyle L^{p}}$-normen

${\displaystyle \|f\|_{p}:=\left({\int |f|^{p}}\right)^{1/p}}$

för ${\displaystyle f\in L^{p}}$ formar en pseudometrik

${\displaystyle d(f,g):=\|f-g\|_{p}}$

för ${\displaystyle f,g\in L^{p}}$. Vi definiera ${\displaystyle L^{p}}$-rummet (med samma symbol) så att det har metriken ${\displaystyle d^{*}\,}$ för ekvivalensklasser.

Se även

• Metriskt rum