Poissons ekvation

Poissons ekvation är en elliptisk partiell differentialekvation med bred användbarhet i teoretisk fysik. Till exempel är lösningen på Poissons ekvation det potentialfält som orsakas av en given elektrisk laddning eller massdensitetsfördelning; med det kända potentialfältet kan man sedan beräkna motsvarande elektrostatiska eller gravitations(kraft)fält. Det är en generalisering av Laplaces ekvation, som också ofta ses inom fysiken. Ekvationen är uppkallad efter den franske matematikern och fysikern Siméon Denis Poisson som publicerade den 1823.[1][2]

Allmän form

${\displaystyle \nabla ^{2}u=f}$

där ${\displaystyle \nabla ^{2}}$ är Laplaceoperatorn, och f är en godtycklig funktion. I ett tredimensionellt rum med kartesiska koordinater skrivs den

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial z^{2}}}=f}$.

Laplaces ekvation är ett specialfall av Poissons ekvation, med f=0.

Exempel

Ekvationen används till exempel inom elektrostatiken i formen

${\displaystyle \nabla ^{2}V=-{\frac {\rho }{\varepsilon }}}$

Där V är den elektriska potentialen, ${\displaystyle \varepsilon }$ är permittiviteten hos mediet (som är konstant) och ${\displaystyle \rho }$ är volymdensiteten för fria laddningar.

Referenser

Noter

1. Jackson, Julia A.; Mehl; Neuendorf, Klaus K. E., reds. (2005), Glossary of Geology, American Geological Institute, Springer, s. 503, ISBN 9780922152766, https://books.google.com/books?id=SfnSesBc-RgC&pg=PA503 
2. Poisson (1823). ”Mémoire sur la théorie du magnétisme en mouvement” (på franska). Mémoires de l'Académie Royale des Sciences de l'Institut de France: sid. 441–570. https://www.biodiversitylibrary.org/item/55214#page/633/mode/1up.  Från sid 463: Således, enligt vad som föregått, kommer vi slutligen att ha, $${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}V}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}V}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}V}{\partial z^{2}}}=0,=-2k\pi ,=-4k\pi ,}$$ beroende på om punkten M är placerad utanför, på ytan av eller inuti volymen som man överväger.) V definieras (s. 462) som $${\displaystyle V=\iiint {\frac {k'}{\rho }}\,dx'\,dy'\,dz',}$$ Där integralen utförs över den laddade kroppens volym (när det gäller elektrostatik), betecknas koordinaterna för punkter som finns inuti eller på volymen av den laddade kroppen med ${\displaystyle (x',y',z')}$, ${\displaystyle k'}$ är en given funktion av ${\displaystyle (x',y,'z')}$ och i elektrostatik, ${\displaystyle k'}$ skulle vara ett mått på laddningstätheten, och ${\displaystyle \rho }$ definieras som längden på en radie som sträcker sig från punkten M till en punkt som ligger inuti eller på den laddade kroppen. Koordinaterna för punkten M betecknas med ${\displaystyle (x,y,z)}$ och ${\displaystyle k}$ anger värdet på ${\displaystyle k'}$ ( laddningstätheten) vid M.