Mangoldtfunktionen

Inom matematiken är Mangoldtfunktionen en aritmetisk funktion uppkallad efter den tyska matematikern Hans von Mangoldt.

Definition

Mangoldtfunktionen, vanligen betecknad med Λ(n), definieras som

${\displaystyle \Lambda (n)={\begin{cases}\log p&{\mbox{om }}n=p^{k}{\mbox{ för något primtal }}p{\mbox{ och heltal }}k\geq 1,\\0&{\mbox{annars.}}\end{cases}}}$

Dess första värden är

${\displaystyle \log 1,\log 2,\log 3,\log 2,\log 5,\log 1,\log 7,\log 2,\log 3,...}$

• A014963 – talföljd på OEIS

Den är ett viktigt exempel av an aritmetisk funktion som är varken multiplikativ eller additiv.

Mangoldtfunktionen uppfyller identiteten

${\displaystyle \log n=\sum _{d\,\mid \,n}\Lambda (d).\,}$

Tjebysjovs funktion ψ(x) är relaterad till Mangoldtfunktionen enligt

${\displaystyle \psi (x)=\sum _{n\leq x}\Lambda (n).}$

Dirichletserier

Mangoldtfunktionen är väldigt viktig inom teorin av Dirichletserier, speciellt inom teorin av Riemanns zetafunktion. En formel där den förekommer är

${\displaystyle \log \zeta (s)=\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {\Lambda (n)}{\log(n)}}\,{\frac {1}{n^{s}}}}$

för ${\displaystyle \Re (s)>1}$. Den logaritmiska derivatan är då

${\displaystyle {\frac {\zeta ^{\prime }(s)}{\zeta (s)}}=-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\Lambda (n)}{n^{s}}}.}$

Dessa är specialfall av en mer allmän relation för Dirichletserier. Om

${\displaystyle F(s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {f(n)}{n^{s}}}}$

för en fullständigt multiplikativ funktion ${\displaystyle f(n)}$, och om serien konvergerar för ${\displaystyle \Re (s)>\sigma _{0}}$, är för ${\displaystyle \Re (s)>\sigma _{0}}$

${\displaystyle {\frac {F^{\prime }(s)}{F(s)}}=-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {f(n)\Lambda (n)}{n^{s}}}.}$

Exponentiella serier

Hardy och Littlewood undersökte serien

${\displaystyle F(y)=\sum _{n=2}^{\infty }\left(\Lambda (n)-1\right)e^{-ny}}$

då ${\displaystyle y\to 0^{+}}$. Under antagandet av Riemannhypotesen demonstrerade de att

${\displaystyle F(y)={\mathcal {O}}\left({\sqrt {\frac {1}{y}}}\right).}$

Källor

Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, Von Mangoldt function, 22 januari 2014.

• Allan Gut, Some remarks on the Riemann zeta distribution (2005)
• S.A. Stepanov (2001), ”Mangoldt function”, i Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1556080104 
• Chris King, Primes out of thin air (2010)
• Heike, How plot Riemann zeta zero spectrum in Mathematica? (2012)