Kvotgrupp

En kvotgrupp är inom matematik, specifikt gruppteori, en grupp som bildas utifrån en större grupp med hjälp av en ekvivalensrelation, som i sin tur definieras med hjälp av en normal delgrupp. Ekvivalensrelationen definierar ekvivalensklasser som partitionerar den ursprungliga mängden. Partitionerna bildar då en grupp i sig själva.

I kategoriteori är kvotgrupper exempel på kvotobjekt. Exempel på andra kvotobjekt är kvotringar, kvotrum och kvotmängder.

Definition

Givet en grupp G kan man definiera multiplikation av delmängder till G genom:

${\displaystyle XY=\{xy:x\in X,y\in Y\}.}$

Om N är en normal delgrupp till G kan man bilda mängderna av sidoklasser till N. Eftersom N är normal kommer vänstersidoklasserna och högersidoklasserna vara samma. Dessa sidoklasser bildar en grupp under multiplikation av delmängder. Mer noggrant, låt aN och bN vara sidoklasser till N. Då gäller att:

${\displaystyle aNbN=a\cdot 1NbN=abb^{-1}NbN={\mbox{(N normal)}}=a(bNb^{-1})bN=abNb^{-1}bN=abNN=abN\,}$

så att produkten av två sidoklasser är återigen en sidoklass. Det neutrala elementet i kvotgruppen är sidoklassen ${\displaystyle 1\cdot N}$ och det inversa elementet till ${\displaystyle aN}$ är ${\displaystyle a^{-1}N}$.

Exempel

Lösningarna till ${\displaystyle z^{12}=1}$ och sidoklasser.

• Gruppen av heltal under addition, Z, är en abelsk grupp, så varje delgrupp är normal. Ta delgruppen av jämna heltal, 2Z och bilda kvotgruppen Z/2Z. Det finns två sidoklasser till 2Z i Z: mängden av jämna heltal och mängden av udda heltal, så kvotgruppen Z/2Z är den cykliska gruppen med två element, isomorf med gruppen bestående av ${\displaystyle \{0,1\}}$ med operationen addition modulo 2.
• Den multiplikativa abelska gruppen bestående av alla lösningar till ekvationen ${\displaystyle z^{12}=1}$ består av punkter på enhetscirkeln i det komplexa planet. En normal delgrupp är alla lösningar till ekvationen ${\displaystyle z^{4}=1}$, markerade med röda prickar i bilden till höger, som partitionerar gruppen i tre sidoklasser. Kvotgruppen blir den cykliska gruppen med tre element.
• Gruppen av reella tal under addition, R, med delgruppen av heltal Z, bildar kvotgruppen R/Z bestående av element r + Z där ${\displaystyle 0\leq r<1}$ som är isomorf med cirkelgruppen ${\displaystyle S^{1}}$ bestående av alla komplexa tal med absolutbelopp 1. En isomorfi ges av

${\displaystyle \phi (r+\mathbb {Z} )=e^{2\pi ir}}$

Egenskaper

Kvotgruppen G/G är isomorf med den triviala gruppen, gruppen med ett element, och G/{e}, där e är det neutrala element i G, är isomorf med G.

Ordningen av kvotgruppen G/N är detsamma som indexet för N.

Det finns en surjektiv grupphomomorfi ${\displaystyle \pi :G\to G/N}$ definierad av ${\displaystyle \pi (g)=gN}$. ${\displaystyle \pi }$ kallas den kanoniska projektionen av G på G/N. Nollrummet av ${\displaystyle \pi }$ är N.

Om G är abelsk, lösbar, nilpotent eller cyklisk har även G/N den egenskapen.

Källor

• Svensson, Per-Anders (2001). Abstrakt Algebra. Studentlitteratur. ISBN 91-44-01262-4 
• Rotman, Joseph (1995). An Introduction to the Theory of Groups. Springer Verlag. ISBN 3-540-94285-8