Harmonisk funktion

En harmonisk funktion är en funktion som uppfyller Laplaces ekvation.

Definition

Låt f : R^n → R, och låt U vara en öppen delmängd av R^n. f är harmonisk på U om f är två gånger kontinuerligt deriverbar på U och

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{i}^{2}}}=0}$

i varje punkt i U. Ekvationen ovan kallas Laplaces ekvation och skrivs ofta ${\displaystyle \nabla ^{2}f=0}$ eller ${\displaystyle \ \Delta f=0.}$

Koppling till analytiska funktioner

Följande sats visar att real- och imaginärdelarna av en analytisk funktion är harmoniska.

Sats 1.

Låt f(z) = u(x,y) + iv(x,y) vara analytisk på en öppen mängd U. Då är funktionerna u(x,y) och v(x,y) harmoniska på U.

Bevis.

Eftersom real- och imaginärdelarna av en analytisk funktion har kontinuerliga partiella andraderivator så gäller att

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial y}}{\frac {\partial u}{\partial x}}={\frac {\partial }{\partial x}}{\frac {\partial u}{\partial y}}}$

Genom att använda Cauchy-Riemanns ekvationer får vi

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial y}}{\frac {\partial u}{\partial x}}={\frac {\partial }{\partial x}}{\frac {\partial u}{\partial y}}\Leftrightarrow {\frac {\partial ^{2}v}{\partial y^{2}}}=-{\frac {\partial ^{2}v}{\partial x^{2}}}}$

vilket visar att v är harmonisk på U. Att även u är det visas analogt.

Genom att använda Cauchy-Riemanns ekvationer kan vi också, givet en harmonisk funktion u(x,y) finna en annan harmonisk funktion v(x,y) sådan att u(x,y) + iv(x,y) är analytisk. v är här ett så kallat harmoniskt konjugat av u.

Exempel

Exempel på harmoniska funktioner:

${\displaystyle \ f(x_{1},x_{2})=\ln(x_{1}^{2}+x_{2}^{2})}$

${\displaystyle \ u(x,y,z)={\frac {1}{\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}}$

Egenskaper

Medelvärdesegenskapen

Låt f: U → R vara kontinuerlig på en öppen mängd U ${\displaystyle \subseteq }$ C. Antag att det för varje ${\displaystyle z_{0}}$ i U gäller att

${\displaystyle \left\{z;\left|z-z_{0}\right|\leq \epsilon _{z_{0}}\right\}\subseteq U}$

för något ${\displaystyle \epsilon _{z_{0}}>0.}$ Om det gäller att

${\displaystyle f(z_{0})={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }f(z_{0}+\epsilon e^{it})\,dt}$

för varje ${\displaystyle 0<\epsilon <\epsilon _{z_{0}}}$ så är f harmonisk.

Maximum och minimum

Låt U vara en begränsad enkelt sammanhängande och öppen mängd med rand D. Om f är harmonisk på U och kontinuerlig på U och D så antar f sitt maximum och minimum på D.

Liouvilles sats

Om f är harmonisk och uppåt eller nedåt begränsad på R^n är f konstant.

Kommentarer

Harmoniska funktioner är mycket viktiga inom matematisk fysik. Exempelvis kan vi låta u(x,y,z) beteckna den elektrostatiska potentialen som orsakas av laddningar i rummet. Då är u harmonisk på de områden i rummet där laddningstätheten är 0. Andra fysikaliska exempel då harmoniska funktioner uppkommer är tvådimensionella vätskeflödesproblem och jämviktstemperaturproblem.

Se även

• Potentialteori

Källor

• E.B. Saff, A.D. Snider. Fundamentals of complex analysis. Third edition.
• A. Persson, L-C Böiers. Analys i flera variabler.
• Weisstein, Eric W. "Mean-Value Property." From MathWorld—A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/Mean-ValueProperty.html