Fishers ekvation

Numerisk simulering av Fishers ekvation. I färgerna: lösningen u(t,x); i punkter: lutning som motsvarar den teoretiska hastigheten för resande vågen.

Inom matematiken är Fishers ekvation, även kallad för Fisher–Kolmogorovs ekvation och Fisher–KPP-ekvationen, den partiella differentialekvationen

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}=u(1-u)+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}.\,}$

Den är uppkallad efter Ronald Fisher och Andrej Kolmogorov.

Fisher föreslog denna ekvation för att beskriva den rumsliga spridningen av en fördelaktig allel och utforskade sina resande våglösningar.[1] För varje våghastighet c ≥ 2 medges resande våglösningar på formen

${\displaystyle u(x,t)=v(x\pm ct)\equiv v(z),\,}$

där ${\displaystyle \textstyle v}$ ökar och

${\displaystyle \lim _{z\rightarrow -\infty }v\left(z\right)=0,\quad \lim _{z\rightarrow \infty }v\left(z\right)=1.}$

Det vill säga, lösningen växlar från jämviktstillståndet u = 0 till jämviktstillståndet u = 1. Någon sådan lösning finns för c < 2.[2][3][4] Vågformen för en given våghastighet är unik.

För den speciella våghastigheten ${\displaystyle c=\pm 5/{\sqrt {6}}}$, kan alla lösningar finnas i en sluten form, med[5]

${\displaystyle v(z)=\left(1+C\mathrm {exp} \left(\pm {z}/{\sqrt {6}}\right)\right)^{-2}}$

där ${\displaystyle C}$ är godtycklig, och ovannämnda gränsvillkoren uppfylls för ${\displaystyle C>0}$.

Den är det enklaste exemplet på ett semilinjärt reaktion–spridningssystem

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}=\Delta u+F\left(u\right),}$

som kan uppvisa resande våg-lösningar som växlar mellan jämviktstillstånd som ges av ${\displaystyle f(u)=0}$. Sådana ekvationer inträffar till exempel i ekologi, fysiologi, förbränning, kristallisering, plasmafysik och i allmänhet fasövergångsproblem.

Bevis på att det finns resande våg-lösningar och analyser av deras egenskaper görs ofta av fasrumsmetoden.

Resande våg-lösningar

• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 

Se även

• Lista över plasmafysikartiklar
• Allen–Cahns ekvation

Källor

Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, Fisher's equation, 10 december 2013.

1. Fisher, R. A., The genetical theory of natural selection. Oxford University Press, 1930. Oxford University Press, USA, New Ed edition, 2000, ISBN 978-0-19-850440-5, variorum edition, 1999, ISBN 0-19-850440-3
2. R. A. Fisher. "The wave of advance of advantageous genes", Ann. Eugenics 7:353–369, 1937.
3. A. Kolmogorov, I. Petrovskii, and N. Piscounov. A study of the diffusion equation with increase in the amount of substance, and its application to a biological problem. In V. M. Tikhomirov, editor, Selected Works of A. N. Kolmogorov I, pages 248–270. Kluwer 1991, ISBN 90-277-2796-1. Translated by V. M. Volosov from Bull. Moscow Univ., Math. Mech. 1, 1–25, 1937
4. Peter Grindrod. The theory and applications of reaction-diffusion equations: Patterns and waves. Oxford Applied Mathematics and Computing Science Series. The Clarendon Press Oxford University Press, New York, second edition, 1996 ISBN 0-19-859676-6; ISBN 0-19-859692-8.
5. Ablowitz, Mark J. and Zeppetella, Anthony, Explicit solutions of Fisher's equation for a special wave speed, Bulletin of Mathematical Biology 41 (1979) 835–840

Externa länkar

• Fishers ekvation på MathWorld
• Fishers ekvation på EqWorld