Dirichlets delarproblem

Inom talteori är Dirichlets delarproblem ett klassiskt problem om tillväxten av summafunktionen av delarantalet.

Delarfunktionens summafunktion definieras som

${\displaystyle D(x)=\sum _{n\leq x}d(n)}$

där

${\displaystyle \!\ d(n)=\sum _{d|n}1}$

är antalet delare av n.

Att hitta en sluten formel för denna funktion är ett extremt svårt problem, men det går att härleda goda approximationer. Peter Gustav Lejeune Dirichlet bevisade att

${\displaystyle D(x)=x\log x+x(2\gamma -1)+\Delta (x)\ }$

där ${\displaystyle \gamma }$ är Eulers konstant där

${\displaystyle \Delta (x)={\mathcal {O}}\left({\sqrt {x}}\right).}$

Dirichlets delarproblem frågar följande: vad är infimum för alla tal ${\displaystyle \theta }$ förvilkar which

${\displaystyle \Delta (x)={\mathcal {O}}\left(x^{\theta +\epsilon }\right)}$

gäller för alla ${\displaystyle \epsilon >0}$. Många av metoderna inom detta problem kan användas inom Gauss cirkelproblem som är ett relaterat problem med en annan aritmetisk funktion

• 1904 bevisade G. Voronoi att feltermen kan förbättras till ${\displaystyle {\mathcal {O}}(x^{1/3}\log x).}$
• 1916 bevisade G.H. Hardy att ${\displaystyle \inf \theta \geq 1/4}$. Han bevisade att för någon konmstant ${\displaystyle K}$ finns det värden på x så att ${\displaystyle \Delta (x)>Kx^{1/4}}$ och värden x så att${\displaystyle \Delta (x)<-Kx^{1/4}}$.
• 1922 förbättrade J. van der Corput Dirichlets resultat till ${\displaystyle \inf \theta \leq 33/100.}$
• 1928 förbättrade han sitt resultat något till ${\displaystyle \inf \theta \leq 27/82.}$
• 1950 bevisade Chih Tsung-tao och oberoende av Chih H. E. Richert 1953 att ${\displaystyle \inf \theta \leq 15/46.}$
• 1969 bevisade Grigori Kolesnik att ${\displaystyle \inf \theta \leq 12/37}$.
• 1973 bevisade han att ${\displaystyle \inf \theta \leq 346/1067}$.
• 1982 förbättrade han sitt resultat något till ${\displaystyle \inf \theta \leq 35/108}$.
• 1988 bevisade H. Iwaniec och C. J. Mozzochi att ${\displaystyle \inf \theta \leq 7/22.}$
• 2003 förbättrade M.N. Huxley detta till ${\displaystyle \inf \theta \leq 131/416.}$

Så det äkta värdet av ${\displaystyle \inf \theta }$ är någonstans mellan 1/4 och 131/416 (approximativt 0.3149); det har förmodats att den är precis lika med 1/4. Direkt beräkning av ${\displaystyle \Delta (x)}$ stöder det, då ${\displaystyle \Delta (x)/x^{1/4}}$ verkar vara approximativt normalt fördelat med standarddevitation 1 för x ända upp till minst 10^16. Värdet 1/4 skulle även följa av en förmodan om exponentpar.

Piltzs delarproblem

Definiera

${\displaystyle D_{k}(x)=\sum _{n\leq x}d_{k}(n)=\sum _{mn\leq x}d_{k-1}(n).}$

Då är

${\displaystyle D_{k}(x)=xP_{k}(\log x)+\Delta _{k}(x)\,}$

där ${\displaystyle P_{k}}$ är ett polynom av grad ${\displaystyle k-1}$. Med simpla metoder kan man visa att

${\displaystyle \Delta _{k}(x)={\mathcal {O}}\left(x^{1-1/k}\log ^{k-2}x\right)}$

för heltal ${\displaystyle k\geq 2}$. Såsom i fallet ${\displaystyle k=2}$ känner man inte till infimat för något värde på ${\displaystyle k}$. Att hitta dessa infimum är känt som Piltzs delarproblem, efter den tyska matematikern Adolf Piltz. Genom att definiera ${\displaystyle \alpha _{k}}$ som det infimat på värden med which ${\displaystyle \Delta _{k}(x)={\mathcal {O}}\left(x^{\alpha _{k}+\varepsilon }\right)}$ gäller för all ${\displaystyle \varepsilon >0}$ följande resultat (notera att that ${\displaystyle \alpha _{2}}$ är ${\displaystyle \theta }$ från förra sektionen):

${\displaystyle \alpha _{2}\leq {\frac {131}{416}}\ }$[1]

${\displaystyle \alpha _{3}\leq {\frac {43}{96}}\ ,}$[2] och[3]

${\displaystyle \alpha _{k}\leq {\frac {3k-4}{4k}}\quad (4\leq k\leq 8)\ }$

${\displaystyle \alpha _{9}\leq {\frac {35}{54}}\ ,\quad \alpha _{10}\leq {\frac {41}{60}}\ ,\quad \alpha _{11}\leq {\frac {7}{10}}\quad \ }$

${\displaystyle \alpha _{k}\leq {\frac {k-2}{k+2}}\quad (12\leq k\leq 25)\ }$

${\displaystyle \alpha _{k}\leq {\frac {k-1}{k+4}}\quad (26\leq k\leq 50)\ }$

${\displaystyle \alpha _{k}\leq {\frac {31k-98}{32k}}\quad (51\leq k\leq 57)\ }$

${\displaystyle \alpha _{k}\leq {\frac {7k-34}{7k}}\quad (k\geq 58)\ .}$

• E.C. Titchmarsh förmodar att ${\displaystyle \alpha _{k}={\frac {k-1}{2k}}\ .}$

Källor

Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, Divisor summatory function, 2 mars 2014.

• H.M. Edwards, Riemann's Zeta Function, (1974) Dover Publications, ISBN 0-486-41740-9
• E. C. Titchmarsh, The theory of the Riemann Zeta-Function, (1951) Oxford at the Clarendon Press, Oxford. (See chapter 12 for a discussion of the generalized divisor problem)
• Apostol, Tom M. (1976), Introduction to analytic number theory, Undergraduate Texts in Mathematics, New York-Heidelberg: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90163-3  (Provides an introductory statement of the Dirichlet divisor problem.)
• H. E. Rose. A Course in Number Theory., Oxford, 1988.
• Huxley, Martin (2003). Exponential Sums and Lattice Points III. Proc. London Math. Soc. sid. (3)87: 591-609 

Fotnoter

1. Huxley 2003.
2. G. Kolesnik. On the estimation of multiple exponential sums, in "Recent Progress in Analytic Number Theory", Symposium Durham 1979 (Vol. 1), Academic, London, 1981, pp. 231-246.
3. Aleksandar Ivić. The Theory of the Riemann Zeta-function with Applicatiions (Theorem 13.2). John Wiley and Sons 1985.