Rozptyl (štatistika)

Rozptyl (iné názvy: variancia, disperzia, stredná kvadratická odchýlka, stredná kvadratická fluktuácia) je najčastejšie používaná miera variability.

Hodnota rozptylu je závislá od odchýlky štatistiky od priemeru. Ak chápeme štatistický súbor ako realizáciu náhodného výberu z určitého rozdelenia, potom rozptyl určuje strednú kvadratickú odchýlku jednotlivých nameraných hodnôt od výberového priemeru.

Definícia

Nech ${\displaystyle X}$ je náhodná premenná, ktorá nadobúda konečne alebo spočítateľne veľa hodnôt. Potom definujeme rozptyl ako

${\displaystyle \mathrm {Var} [X]=\sum _{k=1}^{\infty }(x_{k}-\mathrm {E} [X])^{2}\cdot \mathrm {Pr} [X=x_{k}]}$.

Ďalším často používaným vzťahom na výpočet rozptylu je

${\displaystyle \mathrm {Var} [X]=\operatorname {E} [X^{2}]-\operatorname {E} [X]^{2}}$,

ku ktorému môžeme prísť odvodením zo základného vzťahu. Ak je každý výsledok rovnako pravdepodobný a je ich konečne veľa, uvedený vzťah možno prepísať do tvaru

${\displaystyle \mathrm {Var} [X]={\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}(x_{k}-\mathrm {E} [X])^{2}}$.

Ak uvažujeme náhodnú premennú ${\displaystyle X}$, ktorá nadobúda nekonečne veľa, resp. nespočítateľne veľa hodnôt, teda je spojitá, používame na výpočet variancie vzťah

${\displaystyle \mathrm {Var} [X]=\int \limits _{-\infty }^{+\infty }(x-\mathrm {E} [X])^{2}f(x)\,\mathrm {d} x}$,

kde ${\displaystyle f}$ je funkcia hustoty pravdepodobnosti príslušného rozdelenia.

Vlastnosti rozptylu

• Rozptyl má aditívnu vlastnosť len v prípade, že náhodné premenné v jeho argumente sú nezávislé.
• ${\displaystyle \mathrm {Var} [X+Y]=\mathrm {Var} [X]+\mathrm {Var} [Y]+2\mathrm {Cov} [X,Y]\,}$

• Pri transformácii náhodnej premennej ${\displaystyle \alpha X}$, kde ${\displaystyle \alpha }$ je konštanta platí

${\displaystyle \mathrm {Var} [\alpha X]=\alpha ^{2}\mathrm {Var} [X]\,}$

• Rozptyl môžeme prepísať z definičného tvaru do nasledovného, z ktorého je jasné, že ide o strednú hodnotu istej transformácie pôvodnej náhodnej premennej

${\displaystyle \mathrm {Var} [X]=\mathrm {E} \left[(X-\mathrm {E} [X])^{2}\right]\,}$

Použitie a príklady

Hodnota rozptylu je vždy kladná, čo vyplýva z toho, že pracujeme s druhou mocninou odchýlky. Druhú odmocninu z rozptylu nazývame smerodajná odchýlka a označujeme

${\displaystyle \sigma _{X}={\sqrt {\mathrm {Var} [X]}}}$

Pomocou štandardnej odchýlky a korelačného koeficientu možno vyjadriť kovarianciu nasledovným spôsobom

${\displaystyle \mathrm {Cov} [X,Y]=\rho _{XY}\sigma _{X}\sigma _{Y}\,}$

Rozptyl vystupuje aj v dôležitej Čebyševovej nerovnosti, ktorá sa využíva pri dôkaze slabého zákona veľkých čísel.

Príklad

Rozptyl rovnomerného rozdelenia na intervale [-1,+1] je

${\displaystyle \mathrm {Var} [X]=\int \limits _{-1}^{+1}(x-0)^{2}{\frac {1}{2}}\,\mathrm {d} x=\left[{\frac {x^{3}}{6}}\right]_{-1}^{+1}={\frac {1}{3}}}$