Päťuholník

Pravidelný päťuholník
Pentagón
Obsah	${\displaystyle S={\frac {a^{2}{\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}}{4}}}$
Obvod	${\displaystyle o=5a}$
Polomer opísanej kružnice	${\displaystyle r_{o}=a\cdot {\sqrt {\frac {2}{5-{\sqrt {5}}}}}}$
Polomer vpísanej kružnice	${\displaystyle r_{v}={\frac {a}{2{\sqrt {5-2{\sqrt {5}}}}}}}$
Uhol pri vrchole	108°
Dĺžka najdlhšej uhlopriečky	${\displaystyle l_{u}={\frac {a}{2}}\left({1+{\sqrt {5}}}\right)}$ (zlatý rez)

Päťuholník alebo pentagón je jeden zo základných rovinných geometrických útvarov; mnohouholník s piatimi vrcholmi a stranami. Súčet jeho vnútorných uhlov je presne 540° (3π). Päťuholníky môžu byť pravidelné alebo všeobecné

Matematické vzťahy

Pre pravidelný päťuholník

Obsah	${\displaystyle S={\frac {a^{2}{\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}}{4}}}$
Opísaná kružnica	${\displaystyle r_{o}=a\cdot {\sqrt {\frac {2}{5-{\sqrt {5}}}}}}$
Vpísaná kružnica	${\displaystyle r_{v}={\frac {a}{2{\sqrt {5-2{\sqrt {5}}}}}}}$
Uhlopriečka	${\displaystyle l_{u}={\frac {a}{2}}\left({1+{\sqrt {5}}}\right)}$ (zlatý rez)
Výška	${\displaystyle h=r_{u}+r_{i}={\frac {a}{2}}{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}}$
Obvod	${\displaystyle u=5\cdot a}$
Uhol ramien	${\displaystyle \sum {\alpha =}(n-2)\cdot 180^{\circ }=3\cdot 180^{\circ }=540^{\circ }}$

Obsah inak

${\displaystyle S=5\cdot {\frac {1}{2}}\cdot a\cdot \tan 54^{\circ }\cdot {\frac {a}{2}}={\frac {5}{4}}\cdot a^{2}\cdot \tan 54^{\circ }\approx a^{2}\cdot 1{,}7204774.}$

${\displaystyle S={\frac {5}{8}}\cdot r_{o}^{2}\cdot {\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}}$

tiež

${\displaystyle S={\frac {5}{2}}\cdot r_{o}^{2}\cdot \sin {72^{\circ }}\approx r_{o}^{2}\cdot 2{,}3776413.}$

strana a

${\displaystyle a=2\cdot r_{o}\cdot \cos 54^{\circ }}$

tiež

${\displaystyle a=r_{o}\cdot {\sqrt {\frac {5-{\sqrt {5}}}{2}}}\approx r_{o}\cdot 1{,}1755705.}$

Vlastnosti

Vnútorný päťuholník vymedzený uhlopriečkami

Pomer dĺžok uhlopriečky a strany je rovný zlatému rezu

Jedna uhlopriečka pretína druhú tak, že dĺžky vzniknutých častí sú v pomere zlatého rezu

Uhlopriečky pravidelného 'päťuholníka v jeho vnútri vymedzujú oblasť, ktorá má taktiež tvar pravidelného päťuholníka.

Vnútorné a vonkajšie päťuholníky majú rovnaký stred (geometria), sú opačne orientované a dĺžky ich strán sú v pomere ${\displaystyle 1:1-{\frac {{\sqrt {5}}-1}{2}}}$.

História

Pravidelný päťuholník vždy hral významnú úlohu v mystike a symbolike. Od pravidelného päťuholníka je tiež odvodený symbol pentagramu, využívaný v pythagorejské sekte ako poznávací znak. Jedným z dôvodov, prečo bol pravidelný päťuholník uctievaný, bolo zrejme to, že sa v ňom hneď na niekoľkých miestach ukazuje "najdokonalejší pomer" - zlatý rez.

Konštrukcia

Konštrukcia pravidelného päťuholníka bola známa už v starovekom Grécku.
Jedna z metód zostavenia pravidelného päťuholníka:

Konštrukcia pravidelného päťuholníka

Iné projekty

Commons

• Commons ponúka multimediálne súbory na tému Päťuholník