Mersennovo prvočíslo

Mersennovo prvočíslo alebo Mersennovo číslo je prvočíslo ktoré sa dá zapísať v tvare ${\displaystyle M_{p}=2^{p}-1}$, kde ${\displaystyle p}$ je prvočíslo. Príkladom Mersenovho prvočísla je číslo 3 pretože je to prvočíslo a navyše ${\displaystyle 3=2^{2}-1}$. Prvých 10 Mersennovych prvočísel tvorí postupnosť:

3, 7, 31, 127, 8 191, 131 071, 524 287, 2 147 483 647, 2 305 843 009 213 693 951, 618 970 019 642 690 137 449 562 111, ...

V súčasnosti (október 2024) je známych 52 Mersennových prvočísel. Zatiaľ najväčšie známe Mersennovo prvočíslo má viac ako 41 miliónov cifier a bolo objavené 12. októbra 2024.

Prípustné hodnoty p

Nutnou podmienkou k tomu, aby bolo ${\displaystyle M_{p}}$ prvočíslom je prvočíselnosť samotného ${\displaystyle p}$. Totiž, ak je ${\displaystyle p}$ zložené číslo, dá sa vyjadriť v tvare ${\displaystyle p=a.b}$ kde ${\displaystyle a,b}$ sú prirodzené čísla rôzne od 1. Navyše platí vzťah

${\displaystyle M_{p}=M_{ab}=2^{ab}-1=(2^{a}-1)\cdot \left(1+2^{a}+2^{2a}+2^{3a}+\dots +2^{(b-1)a}\right)}$

z ktorého vyplýva, že ${\displaystyle M_{p}}$ je tiež zložené číslo. Preto môže byť ${\displaystyle M_{p}}$ prvočíslom len v tom prípade, ak je prvočíslom aj ${\displaystyle p}$.

To ale neznamená, že ak je ${\displaystyle p}$ prvočíslom, je ním aj ${\displaystyle M_{p}}$. Najmenším príkladom je ${\displaystyle M_{11}=2047=23.89}$.

Zoznam Mersennových prvočísel

#	p	Mp	Cifry v Mp	Dátum objavu	Objaviteľ
1	2	3	1	500 pred Kr.[1]	starí Gréci
2	3	7	1	500 pred Kr.[1]	starí Gréci
3	5	31	2	275 pred Kr.[1]	starí Gréci
4	7	127	3	275 pred Kr.[1]	starí Gréci
5	13	8191	4	1456	anonym [2]
6	17	131071	6	1588	Cataldi
7	19	524287	6	1588	Cataldi
8	31	2147483647	10	1772	Euler
9	61	2305843009213693951	19	1883	Ivan Pervušin
10	89	618970019…449562111	27	1911	Powers
11	107	162259276…010288127	33	1914	Powers[3]
12	127	170141183…884105727	39	1876	Lucas
13	521	686479766…115057151	157	30. január 1952	Robinson pomocou SWAC
14	607	531137992…031728127	183	30. január 1952	Robinson
15	1 279	104079321…168729087	386	25. jún 1952	Robinson
16	2 203	147597991…697771007	664	7. október 1952	Robinson
17	2 281	446087557…132836351	687	9. október 1952	Robinson
18	3 217	259117086…909315071	969	8. september 1957	Riesel pomocou BESK
19	4 253	190797007…350484991	1 281	3. november 1961	Hurwitz pomocou IBM 7090
20	4 423	285542542…608580607	1 332	3. november 1961	Hurwitz
21	9 689	478220278…225754111	2 917	11. máj 1963	Gillies pomocou ILLIAC II
22	9 941	346088282…789463551	2 993	16. máj 1963	Gillies
23	11 213	281411201…696392191	3 376	2. jún 1963	Gillies
24	19 937	431542479…968041471	6 002	4. marec 1971	Tuckerman pomocou IBM 360/91
25	21 701	448679166…511882751	6 533	30. október 1978	Noll & Nickel pomocou CDC Cyber 174
26	23 209	402874115…779264511	6 987	9. február 1979	Noll
27	44 497	854509824…011228671	13 395	8. apríl 1979	Nelson & Slowinski
28	86 243	536927995…433438207	25 962	25. september 1982	Slowinski
29	110 503	521928313…465515007	33 265	28. január 1988	Colquitt & Welsh
30	132 049	512740276…730061311	39 751	19. september 1983[1]	Slowinski
31	216 091	746093103…815528447	65 050	1. september 1985[1]	Slowinski
32	756 839	174135906…544677887	227 832	19. február 1992	Slowinski & Gage na Harwell Lab Cray-2[4]
33	859 433	129498125…500142591	258 716	4. január 1994[5]	Slowinski & Gage
34	1 257 787	412245773…089366527	378 632	3. september 1996	Slowinski & Gage[6]
35	1 398 269	814717564…451315711	420 921	13. november 1996	GIMPS / Joel Armengaud[7]
36	2 976 221	623340076…729201151	895 932	24. august 1997	GIMPS / Gordon Spence[8]
37	3 021 377	127411683…024694271	909 526	27. január 1998	GIMPS / Roland Clarkson[9]
38	6 972 593	437075744…924193791	2 098 960	1. jún 1999	GIMPS / Nayan Hajratwala[10]
39	13 466 917	924947738…256259071	4 053 946	14. november 2001	GIMPS / Michael Cameron[11]
40	20 996 011	125976895…855682047	6 320 430	17. november 2003	GIMPS / Michael Shafer[12]
41	24 036 583	299410429…733969407	7 235 733	15. máj 2004	GIMPS / Josh Findley[13]
42	25 964 951	122164630…577077247	7 816 230	18. február 2005	GIMPS / Martin Nowak[14]
43	30 402 457	315416475…652943871	9 152 052	15. december 2005	GIMPS / Curtis Cooper & Steven Boone[15]
44	32 582 657	124575026…053967871	9 808 358	4. september 2006	GIMPS / Curtis Cooper & Steven Boone[16]
45	37 156 667	202254406…308220927	11 185 272	6. september 2008	GIMPS / Hans-Michael Elvenich[17]
46	42 643 801	169873516…562314751	12 837 064	12. apríl 2009	GIMPS / Odd M. Strindmo
47	43 112 609	316470269…697152511	12 978 189	23. august 2008	GIMPS / Edson Smith[17]
48	57 885 161	581887266…724285951	17 425 170	25. január 2013	GIMPS / Curtis Cooper
49[pozn. 1]	74 207 281	300376418…086436351	22 338 618	7. január 2016	GIMPS / Curtis Cooper
50[pozn. 1]	77 232 917	467333183…762179071	23 249 425	26. december 2017	GIMPS / Jonathan Pace
51[pozn. 1]	82 589 933	148894445…217902591	24 862 048	7. december 2018	GIMPS / Patrick Laroche [18]
52	136 279 841	881694327...486871551	41 024 320	12. október 2024	GIMPS / Luke Durant [19]

Poznámky

1. Zatiaľ nie je známe, či medzi 48. a 51. existujú niektoré doposiaľ neobjavené Mersennove prvočísla, číslovanie je preto iba predbežné. GIMPS Milestones [online]. www.mersenne.org, [cit. 2022-02-17]. Dostupné online.

Referencie

1. Landon Curt Noll Mersenne Prime Digits and Names.
2. The Prime Pages Mersenne Primes: History Theorems and Lists.
3. The Prime Pages M₁₀₇: Fauquembergue or Powers?.
4. The Prime Pages The finding of the 32nd Mersenne.
5. Chris Caldwell The Largest Known Primes Archivované 1998-12-02 na Wayback Machine.
6. The Prime Pages A Prime of Record Size! 2^1257787-1.
7. GIMPS Discovers 35th Mersenne Prime.
8. GIMPS Discovers 36th Known Mersenne Prime.
9. GIMPS Discovers 37th Known Mersenne Prime.
10. GIMPS Finds First Million-Digit Prime Stakes Claim to $50 000 EFF Award.
11. GIMPS Researchers Discover Largest Multi-Million-Digit Prime Using Entropia Distributed Computing Grid.
12. GIMPS Mersenne Project Discovers Largest Known Prime Number on World-Wide Volunteer Computer Grid.
13. GIMPS Mersenne.org Project Discovers New Largest Known Prime Number 2^24 036 583-1.
14. GIMPS Mersenne.org Project Discovers New Largest Known Prime Number 2^25 964 951-1.
15. GIMPS Mersenne.org Project Discovers New Largest Known Prime Number 2^30 402 457-1.
16. GIMPS Mersenne.org Project Discovers Largest Known Prime Number 2^32 582 657-1.
17. Titanic Primes Raced to Win $100 000 Research Award. Retrieved on 2008-09-16.
18. Largest Known Prime Number: 282,589,933-1 [online]. mersenne.org, 2018-12-21, [cit. 2019-01-03]. Dostupné online. (anglicky)
19. Mersenne Prime Discovery - 2^136279841-1 is Prime! [online]. Blowing Rock: Mersenne Research, 2024-10-21, [cit. 2024-10-22]. Dostupné online.

Pozri aj

• Dokonalé číslo
• Marin Mersenne

Externé odkazy

• mersenne.org – Great Internet Mersenne Prime Search (GIMPS) (po anglicky)
• Mersennovo prvočíslo v encyklopédii MathWorld (po anglicky)
• Mersenne Primes: History, Theorems and Lists na webe PrimePages (po anglicky)
• Mersennovo prvočíslo na webe Ústavu matematiky a štatistiky Prírodovedeckej fakulty Masarykovej univerzity (po česky)