Homomorfizmus (algebra)

Homomorfizmus alebo homomorfné zobrazenie je zobrazenie z jednej algebrickej štruktúry do inej rovnakého typu, ktoré zachováva všetku relevantnú štruktúru.

Formálne je to teda zobrazenie ${\displaystyle \phi :A\rightarrow B}$ medzi dvomi algebrickými štruktúrami rovnakého typu také, že pre každú definovanú operáciu ${\displaystyle f}$ a pre všetky ${\displaystyle x_{i}}$ v ${\displaystyle A}$ platí

${\displaystyle \phi (f_{A}(x_{1},\ldots ,x_{n}))=f_{B}(\phi (x_{1}),\ldots ,\phi (x_{n}))}$

Každá algebrická štruktúra má svoj typ homomorfizmu:

• homomorfizmus grúp (všeobecnejšie homomorfizmus grupoidov)
• homomorfizmus okruhov
• homomorfizmus telies
• homomorfizmus algebier
• homomorfizmus vektorových priestorov = lineárne zobrazenie

Druhy homomorfizmov

Existujú tieto druhy homomorfizmov:

• izomorfizmus je bijektívny homomorfizmus (prostý a na)
• epimorfizmus je surjektívny homomorfizmus (na)
• monomorfismus je injektívny homomorfizmus (prostý)
• endomorfizmus je homomorfizmus z objektu do seba samého
• automorfizmus je endomorfizmus, ktorý je aj izomorfizmom

Jadro homomorfizmu

Každý homomorfizmus ${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$ definuje ekvivalenciu ${\displaystyle \sim }$ tak, že ${\displaystyle x\sim y}$ práve vtedy, keď ${\displaystyle f(x)=f(y)}$. Ekvivalencia ${\displaystyle \sim }$ sa nazýva jadro ${\displaystyle f}$. Faktormnožine ${\displaystyle X/\sim }$ môže byť daná prirodzená štruktúra, čiže ${\displaystyle [x]\circ [y]=[x\circ y]}$. V tomto prípade je obraz ${\displaystyle X}$ homomorfizmu ${\displaystyle f}$ v ${\displaystyle Y}$ nutne izomorfný ${\displaystyle X/\sim }$.

Externé odkazy

• Homomorfizmy, izomorfizmy