Binárna sčítačka

Binárna sčítačka[1] (iné názvy: dvojková sčítačka,[2] (binárny) sumátor[3][4], sčítačka) je kombinačný logický obvod, realizujúci sčítanie čísel, reprezentovaných v dvojkovej číselnej sústave. Tvorí dôležitú súčasť aritmeticko-logickej jednotky (ALU) centrálneho procesora (CPU) počítača.[5]

V prípade použitia dvojkového doplnkového kódovania záporných čísel sa dá sčítačka veľmi jednoducho rozšíriť na sčítačku-odčítačku.[5]

Jednobitové sčítačky

Polovičná sčítačka

Polovičná sčítačka z hradiel XOR a AND

Polovičná sčítačka[6] (iné názvy: neúplná sčítačka[7]:53, polosumátor[4]; angl. half adder) realizuje sčítanie dvoch jednociferných binárnych čísel. Vstupom sú dva jednobitové sčítance (A, B). Výstupom je jednobitový súčet (S) a jednobitový príznak prenosu do vyššieho rádu (C, z angl. carry flag).[5]

Polovičná sčítačka odovzdáva ďalej príznak prenosu do ďalšieho rádu, sama však nedokáže spracovať prenos z predchádzajúceho rádu. Nestačí preto na realizáciu viacbitového sčítania.[5]

Booleovský zápis:

${\displaystyle S=A\oplus B}$

${\displaystyle C=A\cdot B}$

Pravdivostná tabuľka polovičnej sčítačky:

vstup			výstup
A	B		C	S
0	0		0	0
0	1		0	1
1	0		0	1
1	1		1	0

Úplná sčítačka

Úplná sčítačka, zložená z dvoch polovičných sčítačiek a hradla OR (bloková schéma)

Úplná sčítačka z hradiel (2× XOR, 2× AND, 1× OR). Dve polovičné sčítačky sú v schéme vyznačené červenou farbou.

Schematická značka jednobitovej úplnej sčítačky

Úplná sčítačka[6] (iné názvy: plná sčítačka, úplný sumátor, plný sumátor; angl. full adder) realizuje sčítanie dvoch jednociferných binárnych čísel s pripočítaním prenosu z predchádzajúceho rádu. Vstupom sú tri jednobitové sčítance: A, B, C_i (C_i z angl. carry-in). Výstupom je jednobitový súčet (S) a jednobitový príznak prenosu do vyššieho rádu (C_o, z angl. carry-out).

Úplnú sčítačku je možné zložiť z dvoch polovičných sčítačiek a hradla OR (pozri obr.). Hradlo OR je navyše možné bez vplyvu na funkčnosť nahradiť hradlom XOR, nakoľko kombinácia vstupov (1, 1), pri ktorej by sa ich výstup líšil nemôže v prípade sčítania nastať (buď nastane prenos iba v prvej polovičnej sčítačke, alebo iba v druhej). Na vytvorenie úplnej sčítačky tak stačia 2 typy hradiel, čo je praktické pri ich realizácii.[5]

Úplné sčítačky je možné zreťaziť vedľa seba (výstup C_o jednej sčítačky prepojiť so vstupom C_i ďalšej) a realizovať tak sčítanie viacbitových čísel (pozri nižšie).[5]

Booleovský zápis:

${\displaystyle S=(A\oplus B)\oplus C_{i}}$

${\displaystyle C_{o}=(A\cdot B)+(C_{i}\cdot (A\oplus B))=(A\cdot B)+(B\cdot C_{i})+(C_{i}\cdot A)}$

Pravdivostná tabuľka úplnej sčítačky:

vstup				výstup
A	B	Ci		Co	S
0	0	0		0	0
0	0	1		0	1
0	1	0		0	1
0	1	1		1	0
1	0	0		0	1
1	0	1		1	0
1	1	0		1	0
1	1	1		1	1

Paralelné sčítačky

Paralelná sčítačka je kombinačný obvod, realizujúci sčítanie viacbitových binárnych čísel.[5]

Sčítačka s propagáciou prenosu

4-bitová sčítačka s propagáciou prenosu. Doba ustálenia obvodu je 2 × 4 = 8 čiastkových hradlových oneskorení.

N-bitová sčítačka s propagáciou prenosu alebo sčítačka so sériovým prenosom[6] (angl. ripple carry adder, skr. RCA) vznikne jednoduchým zreťazením N úplných 1-bitových sčítačiek, prepojením výstupu C_o úplnej sčítačky n-tého bitu so vstupom C_i sčítačky (n+1). bitu (pozri obr.). Vstupom výslednej N-bitovej sčítačky sú potom dve N-bitové čísla (+ prípadný prenos z predchádzajúceho rádu), výstupom je ich súčet, široký N+1 bitov (N bitov + prenos). Názov je odvodený z princípu – príznak prenosu sa odovzdáva (propaguje) z jedného bitu do druhého.

Sčítačka s propagáciou prenosu je jednoduchá na návrh a realizáciu a teoreticky je rozšíriteľná na ľubovoľný počet bitov. Má však zásadnú nevýhodu: s rastúcou šírkou (a teda počtom zreťazených úplných sčítačiek) priamo úmerne narastá celkové oneskorenie (doba ustálenia) výsledného obvodu. Signál prenosu prechádza v každej úplnej sčítačke dvoma hradlami, takže korektný súčet sa na výstupe napr. 32-bitovej sčítačky s propagáciou prenosu objaví s oneskorením až 64 čiastkových hradlových oneskorení, čo by mohlo výrazne obmedzovať priepustnosť (maximálny možný počet sčítaní za jednotku času) sekvenčného zariadenia, využívajúceho takýto typ sčítačky. Toto obmedzenie viedlo k snahe navrhnúť N-bitové sčítačky s menším oneskorením.

Sčítačka s predikciou prenosu

4-bitová sčítačka s predikciou prenosu

Sčítačka s predikciou prenosu (iné názvy: sčítačka s predvídaním prenosu[7]:123, sčítačka so zrýchleným prenosom[6]; angl. carry lookahead adder, skr. CLA) je N-bitová binárna sčítačka, schopná vypočítať súčet v kratšom čase (v jednotkách hradlového oneskorenia) než sčítačka s propagáciou prenosu (RCA). Pri RCA musí každá čiastková 1-bitová sčítačka „čakať“ na korektný príznak prenosu od sčítačky predchádzajúceho bitu. Pri CLA sú (zjednodušene povedané) všetky prenosy medzi rádmi vypočítané súčasne – kombinačným obvodom, nazývaným jednotka predikcie prenosu (angl. lookahead carry unit, skr. LCU).

Výhody:

• výpočet súčtu s oneskorením, teoreticky nezávislým od šírky vstupu – O(1), zatiaľ čo sčítačka s propagáciou prenosu má oneskorenie priamo úmerné šírke vstupu – O(n)

Nevýhody:

• vyššie nároky na celkový počet hradiel – O(n²) a celkový počet tranzistorov (O(n³) kvôli potrebe hradiel s počtom vstupov úmerným šírke sčítačky) v porovnaní so sčítačkou s propagáciou prenosu (O(n) hradiel)
• od určitého počtu bitov prestáva byť prakticky realizovateľná (kvôli počtu hradiel a výrobným obmedzeniam na počet vstupov jedného hradla). Široké sčítačky je preto potrebné realizovať viacúrovňovo – kombinovaním princípu predikcie prenosu (na nižšej úrovni) s propagáciou prenosu (na vyššej úrovni), prípadne použitím princípu predikcie prenosu na dvoch (alebo viacerých) úrovniach.

BCD sčítačky

Bloková schéma 4-bitovej BCD sčítačky zloženej z dvoch binárnych sčítačiek a pomocnej logiky

Schéma 4-bitovej BCD sčítačky z konkrétnych TTL obvodov z rodiny 7400

Pre sčítavanie čísel reprezentovaných v BCD kódovaní, kde je každá desiatková cifra reprezentovaná samostatnou štvoricou bitov, je možné použiť obvod zložený z dvoch 4-bitových úplných binárnych sčítačiek a pomocnej logiky.

Prvá sčítačka binárne sčíta 4-bitové BCD sčítance, pričom pokiaľ je ich súčet ≤ 9, je už jej výstupom platná BCD reprezentácia výsledku. Ak je hodnota súčtu > 9, je k nemu potrebné (v modulo 16 aritmetike) pripočítať hodnotu 6 (a indikovať prenos do vyššieho rádu, C_o), aby výsledok znova binárne reprezentoval príslušnú desiatkovú cifru súčtu. Toto pričítanie zabezpečuje druhá 4-bitová sčítačka, ktorá má ako jedného sčítanca výstup prvej sčítačky a ako druhého buď hodnotu 0 (0000₂) alebo hodnotu 6 (0110₂), pričom prepínanie týchto dvoch hodnôt zabezpečuje pomocná hradlová logika, dekódujúca výstupy prvej sčítačky.[5]:150 – 152

Napr.:

prvá sčítačka	∑1 > 9	druhá sčítačka	desiatkový súčet
${\displaystyle 0+0\equiv \ \ 0{\pmod {16}}}$	nie	${\displaystyle \ \ 0+0\equiv 0{\pmod {16}}}$	0 + 0 = 00
${\displaystyle 1+0\equiv \ \ 1{\pmod {16}}}$	nie	${\displaystyle \ \ 1+0\equiv 1{\pmod {16}}}$	1 + 0 = 01
${\displaystyle \cdots }$
${\displaystyle 8+0\equiv \ \ 8{\pmod {16}}}$	nie	${\displaystyle \ \ 8+0\equiv 8{\pmod {16}}}$	8 + 0 = 08
${\displaystyle 9+0\equiv \ \ 9{\pmod {16}}}$	nie	${\displaystyle \ \ 9+0\equiv 9{\pmod {16}}}$	9 + 0 = 09
${\displaystyle 9+1\equiv 10{\pmod {16}}}$	áno	${\displaystyle 10+6\equiv 0{\pmod {16}}}$	9 + 1 = 10
${\displaystyle 9+2\equiv 11{\pmod {16}}}$	áno	${\displaystyle 11+6\equiv 1{\pmod {16}}}$	9 + 2 = 11
${\displaystyle \cdots }$
${\displaystyle 9+8\equiv \ \ 1{\pmod {16}}}$	áno	${\displaystyle \ \ 1+6\equiv 7{\pmod {16}}}$	9 + 8 = 17
${\displaystyle 9+9\equiv \ \ 2{\pmod {16}}}$	áno	${\displaystyle \ \ 2+6\equiv 8{\pmod {16}}}$	9 + 9 = 18

Tento obvod je vhodný pre najbežnejšie BCD kódovanie s bitovými váhami 8-4-2-1 (angl. natural binary coded decimal; skr. NBCD), pri ktorom reprezentácia hodnôt 0 – 9 priamo zodpovedá ich zápisom v dvojkovej sústave.

Integrované obvody

Medzi bežné TTL/CMOS integrované obvody realizujúce binárne sčítačky patria:[8][9][10]

• 7480: 1-bitová úplná sčítačka
• 7482: 2-bitová úplná sčítačka
• 7483: 4-bitová úplná sčítačka so zrýchleným prenosom
• 74181: 4-bitová 16-funkčná aritmeticko-logická jednotka (ALU)
• 74183: 2× 1-bitová úplná sčítačka
• 74283: 4-bitová úplná sčítačka so zrýchleným prenosom
• 74381: 4-bitová ALU s výstupmi „generate“ a „propagate“
• 74382: 4-bitová ALU s výstupmi „ripple carry“ a „overflow“
• 74385: 4× 1-bitová sčítačka/odčítačka
• 74456: natural binary coded decimal (NBCD) sčítačka
• 4008: 4-bitová úplná sčítačka so zrýchleným prenosom
• 4032: 3× sériová sčítačka
• 4038: 3× sériová sčítačka (spúšťanie zostupnou hranou)
• 4560: NBCD sčítačka
• 40181: 4-bitová 16-funkčná ALU

Ekvivalenty uvedených obvodov[8] aj ľubovoľné vlastné účelové obvody sčítačiek je dnes možné pohodlne používať aj vo forme komponentov pre programovateľné hradlové polia.[7]:54 – 59, 69 – 74, 80 – 87, 108, 123 – 127, 317 – 319, 334

Referencie

1. KOLLÁR, Dušan. Kombinačné číslicové a logické obvody [online]. Bratislava: Fakulta Matematiky, Fyziky a Informatiky UK, [cit. 2021-04-15]. Dostupné online.
2. GNEDENKO, B. V.; KOROĽUK, V. S.; JUŠČENKO, J. L.. Základy programovania na samočinných číslicových počítačoch. Bratislava : Slovenské vydavateľstvo technickej literatúry, 1964. 363 s.
3. sumátor. In: Slovník cudzích slov (akademický) [online]. Bratislava: Jazykovedný ústav Ľ. Štúra SAV., 2005, [cit. 2021-04-15]. Dostupné online.
4. KVASNIČKA, Vladimír. Úvod do logiky pre informatikov. Bratislava : Fakulta informatiky a informačných technológií STU, 2012. Dostupné online. S. 184 – 186.
5. ANTOŠOVÁ, Marcela; DAVÍDEK, Vratislav. Číslicová technika. 4. aktualiz. vyd. České Budějovice : Kopp, 2009. 305 s. ISBN 978-80-7232-394-4. S. 139 – 148.
6. ÁDÁM, Norbert. Architektúry počítačových systémov [online]. Košice: Technická univerzita, [cit. 2021-04-15]. S. 53. Dostupné online.
7. MALÝ, Martin. Data, čipy, procesory : Vlastní integrované obvody na koleni. Praha : CZ.NIC, 2020. 392 s. Dostupné online. ISBN 978-80-88168-56-0. Archivované 2021-03-12 z originálu.
8. ŠUSTA, Richard. Obvody řady 74 zahrnuté v Quartus II knihovně '/others/maxplus2/' [online]. susta.cz, [cit. 2021-04-15]. Dostupné online.
9. Frank's IC 7400 [online]. Frank's Hospital Workshop, [cit. 2021-04-15]. Dostupné online.
10. Frank's IC 4000 [online]. Frank's Hospital Workshop, [cit. 2021-04-15]. Dostupné online.

Pozri aj

• dvojková číselná sústava
• binárna násobička
• aritmeticko-logická jednotka (ALU)
• hradlo XOR
• zoznam základných logických obvodov

Iné projekty

Commons

• Commons ponúka multimediálne súbory na tému Binárna sčítačka

Externé odkazy

• Polovičná sčítačka Archivované 2021-10-16 na Wayback Machine, úplná sčítačka Archivované 2021-04-15 na Wayback Machine – interaktívne simulácie hradlových obvodov k publikácii Hradla, volty, jednočipy Martina Malého
• Hardvérové algoritmy pre aritmetické moduly (po anglicky)
• Reverzné inžinierstvo obvodu zrýchleného prenosu sčítačky v ALU procesora Intel 8008 (po anglicky)