Экспоненциал

Экспоненциал — теоретико-категорный аналог множества функций в теории множеств. Категории, в которых существуют конечные пределы и экспоненциалы, называются декартово замкнутыми.

Определение

Пусть в категории ${\displaystyle C}$ существуют бинарные произведения. Тогда экспоненциал ${\displaystyle Z^{Y}}$ можно определить как универсальный морфизм из функтора ${\displaystyle [-]\times Y}$ в ${\displaystyle Z}$. (Функтор ${\displaystyle [-]\times Y}$ из ${\displaystyle C}$ в ${\displaystyle C}$ отображает объект ${\displaystyle X}$ в ${\displaystyle X\times Y}$ и морфизмы ${\displaystyle \varphi }$ в ${\displaystyle \varphi \times \mathrm {id} _{Y}}$).

Более явно, экспоненциал ${\displaystyle Z^{Y}}$ объектов ${\displaystyle Z}$ и ${\displaystyle Y}$ — это такой объект, вместе с морфизмом ${\displaystyle eval\colon Z^{Y}\times Y\to Z}$, называемым отображением оценки, что для любого объекта ${\displaystyle X}$ и морфизма ${\displaystyle g\colon X\times Y\to Z}$ существует единственный морфизм ${\displaystyle \lambda g\colon X\to Z^{Y}}$, для которого следующая диаграмма коммутативна:

Universal property of the exponential object

Если экспоненциал ${\displaystyle Z^{Y}}$ существует для всех ${\displaystyle Z}$ в ${\displaystyle C}$, то функтор, отправляющий ${\displaystyle Z}$ в ${\displaystyle Z^{Y}}$ является правым сопряжённым к ${\displaystyle [-]\times Y}$. В этом случае существует естественная биекция:

${\displaystyle \mathrm {Hom} (X\times Y,Z)\cong \mathrm {Hom} (X,Z^{Y})}$.

Примеры

В категории множеств экспоненциал ${\displaystyle Z^{Y}}$ — это множество всех функций из ${\displaystyle Y}$ в ${\displaystyle Z}$ (кардинальная степень). Для любого отображения ${\displaystyle g\colon (X\times Y)\rightarrow Z}$ отображение ${\displaystyle \lambda g\colon X\to Z^{Y}}$ — это каррированная форма ${\displaystyle g}$:

${\displaystyle \lambda g(x)(y)=g(x,y)}$.

В категории топологических пространств экспоненциал ${\displaystyle Z^{Y}}$ существует, если ${\displaystyle Y}$ — локально компактное хаусдорфово пространство. В этом случае ${\displaystyle Z^{Y}}$ — это множество непрерывных функций из ${\displaystyle Y}$ в ${\displaystyle Z}$ с компактно-открытой топологией. Если ${\displaystyle Y}$ не локально компактное хаусдорфово пространство, экспоненциал может не существовать (пространство ${\displaystyle Z^{Y}}$ будет существовать, но отображение ${\displaystyle \lambda }$ может перестать быть непрерывным). По этой причине категория топологических пространств не является декартово замкнутой.

Литература

• Голдблатт Р. Топосы. Категорный анализ логики = Topoi. The categorial analysis of logic / Пер. с англ. В. Н. Гришина и В. В. Шокурова под ред. Д. А. Бочвара. — М.: Мир, 1983. — 488 с.
• Маклейн С. Категории для работающего математика = Categories for the working mathematician / Пер. с англ. под ред. В. А. Артамонова. — М.: Физматлит, 2004. — 352 с. — ISBN 5-9221-0400-4.

• Adámek, Jiří; Horst Herrlich, George Strecker. Abstract and Concrete Categories (The Joy of Cats) (англ.). — John Wiley & Sons, 2006.