Число Оре

Число Оре — натуральное число, среднее гармоническое делителей которого является целым числом. Понятие числа Оре введено Ойстином Оре в 1948 году. Первые несколько чисел Оре:

1, 6, 28, 140, 270, 496, 672, 1638, 2970, 6200, 8128, 8190, 18 600, 18 620, …[1].

Например, число Оре 6 имеет делители 1, 2, 3 и 6. Их гармоническое среднее является целым числом:

${\displaystyle {\frac {4}{{\frac {1}{1}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{6}}}}=2.}$

Число 140 имеет делители 1, 2, 4, 5, 7, 10, 14, 20, 28, 35, 70 и 140. Их гармоническое среднее:

${\displaystyle {\frac {12}{{\frac {1}{1}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{10}}+{\frac {1}{14}}+{\frac {1}{20}}+{\frac {1}{28}}+{\frac {1}{35}}+{\frac {1}{70}}+{\frac {1}{140}}}}=5.}$

5 является целым числом, а значит, 140 является числом Оре.

Числа Оре и совершенные числа

Для любого целого числа ${\displaystyle M}$ произведение гармонического среднего и среднего арифметического его делителей равно самому числу ${\displaystyle M}$, что непосредственно следует из определений. Таким образом, ${\displaystyle M}$ является числом Оре с гармоническим средним делителей ${\displaystyle k}$ в том и только в том случае, когда среднее арифметическое делителей является частным от деления ${\displaystyle M}$ на ${\displaystyle k}$.

Оре показал, что любое совершенное число является числом Оре. Так как сумма делителей совершенного числа ${\displaystyle M}$ в точности равна ${\displaystyle 2M}$, среднее делителей равно ${\displaystyle M(2/\tau (M))}$, где ${\displaystyle \tau (M)}$ означает число делителей числа ${\displaystyle M}$. Для любого ${\displaystyle M}$ число ${\displaystyle \tau (M)}$ нечётно тогда и только тогда, когда ${\displaystyle M}$ является полным квадратом, в противном случае каждому делителю ${\displaystyle d}$ числа ${\displaystyle M}$ можно сопоставить другой делитель — ${\displaystyle M/d}$. Но никакое совершенное число не может быть полным квадратом, это следует из известных свойств чётных совершенных чисел, а нечётные совершенные числа (если такие существуют) должны иметь множитель вида ${\displaystyle q^{\alpha }}$, где ${\displaystyle \alpha \equiv 1{\pmod {4}}}$. Таким образом, для совершенного числа ${\displaystyle M}$ число делителей ${\displaystyle \tau (M)}$ чётно и среднее делителей является произведением ${\displaystyle M}$ на ${\displaystyle 2/\tau (M)}$. Таким образом, ${\displaystyle M}$ является числом Оре.

Оре высказал предположение, что не существует нечётных чисел Оре, кроме 1. Если гипотеза верна, то нечётных совершенных чисел не существует.

Границы и компьютерный поиск

Показано, что любое нечётное число Оре, большее 1, должно иметь степень простого делителя больше 10^7, а также, что любое такое число должно иметь по меньшей мере три различных простых делителя. Кроме того, установлено, что не существует нечётных чисел Оре, меньших 10^24.

Предпринимались попытки получить с помощью компьютера список всех малых чисел Оре, в результате были найдены все числа Оре до 3.75×10^10 и все числа, для которых гармоническое среднее не превышает 300.

Примечания

1. последовательность A001599 в OEIS

Литература

• Bogomolny, Alexander. An Identity Concerning Averages of Divisors of a Given Integer  (неопр.). Дата обращения: 10 сентября 2006.

• Cohen, Graeme L. Numbers Whose Positive Divisors Have Small Integral Harmonic Mean // Mathematics of Computation. — 1997. — Т. 66. — С. 883–891. — doi:10.1090/S0025-5718-97-00819-3.

• Graeme L. Cohen, Ronald M. Sorli. Odd harmonic numbers exceed 10^24 // Mathematics of Computation. — 2010. — Т. 79, вып. 272. — С. 2451. — ISSN 0025-5718. — doi:10.1090/S0025-5718-10-02337-9. Опубликовано в электроном виде 9 апреля 2010.

• Goto, Takeshi. (Ore's) Harmonic Numbers  (неопр.). Дата обращения: 10 сентября 2006.

• Richard K. Guy. Unsolved problems in number theory. — 3rd. — Springer-Verlag, 2004. — ISBN 978-0-387-20860-2.

• Joseph B. Muskat. On Divisors of Odd Perfect Numbers // Mathematics of Computation. — American Mathematical Society, 1966. — Т. 20, вып. 93. — С. 141–144. — doi:10.2307/2004277. — JSTOR 2004277.

• Øystein Ore. On the averages of the divisors of a number // American Mathematical Monthly. — Mathematical Association of America, 1948. — Т. 55. — С. 615–619. — doi:10.2307/2305616. — JSTOR 2305616.

• Weisstein, Eric W. Harmonic Divisor Number (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.