Странное число

Странное число — натуральное число, которое является избыточным, но не является полусовершенным[1]. Другими словами, сумма собственных делителей (делители, включая 1, но не включая себя) числа больше самого числа, но сложением подмножества делителей нельзя получить само число.

Самое маленькое странное число — 70. Его делители: 1, 2, 5, 7, 10, 14, и 35; их сумма 74, но сложением подмножества делителей нельзя получить 70. Число 12, к примеру, избыточное, но не странное, потому что делители 12 — это 1, 2, 3, 4 и 6, сумма которых равна 16; но 2+4+6 = 12.

Первые несколько странных чисел[2] — 70, 836, 4030, 5830, 7192, 7912, 9272, 10 430, … Было показано, что существует бесконечное количество странных чисел, и что последовательность странных чисел имеет положительную асимптотическую плотность[3].

Неизвестно, существуют ли нечётные странные числа; но если они существуют, то должны быть больше 2^32 ≈ 4⋅10^9[4]. В рамках проекта добровольных распределенных вычислений yoyo@home работает подпроект Odd Weird Search[5] по поиску подобного числа в диапазоне до 10^28.

В 1976 году установлено, что если ${\displaystyle k}$ — целое положительное, ${\displaystyle Q}$ — простое, и

${\displaystyle R={\frac {2^{k}Q-(Q+1)}{(Q+1)-2^{k}}}}$ — простое, тогда

${\displaystyle n=2^{k-1}QR}$ — странное число[6].

С помощью этой формулы он смог найти большое странное число

${\displaystyle n=2^{56}(2^{61}-1)153722867280912929\approx 2\cdot 10^{52}}$.

Примечания

1. Benkoski, Stan. E2308 (in Problems and Solutions) (англ.) // The American Mathematical Monthly : journal. — Vol. 79, no. 7. — P. 774.
2. Последовательность A006037 в OEIS
3. Benkoski, Stan; Paul Erdős. On Weird and Pseudoperfect Numbers (англ.) // Mathematics of Computation^[англ.] : journal. — 1974. — April (vol. 28, no. 126). — P. 617—623.
4. CN Friedman, «Sums of Divisors and Egyptian Fractions», Journal of Number Theory (1993). The result is attributed to «M. Mossinghoff at University of Texas — Austin».
5. Odd Weird Search  (неопр.). Дата обращения: 25 ноября 2015. Архивировано 25 ноября 2015 года.
6. Kravitz, Stanley. A search for large weird numbers (англ.) // Journal of Recreational Mathematics : journal. — Baywood Publishing, 1976. — Vol. 9, no. 2. — P. 82—85.