Частичный след

Слева полная матрица плотности ${\displaystyle \rho _{AB}}$ двухчастичной системы. Справа редуцированная матрица плотности ${\displaystyle \rho _{A}}$ первой частицы полученная как частичный след для второй частицы.

В линейной алгебре частичный след обобщает понятие след матрицы. Cлед линейного оператора является скаляром, тогда как частичный след сам является линейным оператором. Частичный след применяется в квантовой информатике и теории декогеренции.

Определение

Для любого пространства ${\displaystyle A}$, обозначим пространство линейных операторов на ${\displaystyle A}$ нем как ${\displaystyle L(A)}$. Пусть ${\displaystyle V}$, ${\displaystyle W}$ являются конечномерными векторными пространствами над полем с размерностями ${\displaystyle m}$ и ${\displaystyle n}$ соответственно. Пусть базисами в V иW будут соответственно ${\displaystyle v_{1},\ldots ,v_{m}}$, и ${\displaystyle w_{1},\ldots ,w_{n}}$.

Частичный след ${\displaystyle \operatorname {Tr} _{W}}$ для пространства ${\displaystyle W}$, это отображение ${\displaystyle \{a_{k\ell ,ij}\}=A\in \operatorname {L} (V\otimes W)\mapsto \{b_{k,i}\}=\operatorname {Tr} _{W}(A)\in \operatorname {L} (V)}$ заданное соотношением ${\displaystyle b_{k,i}=\sum _{j=1}^{n}a_{kj,ij}.}$

Линейный оператор заданный таким образом не зависит от выбора базиса ${\displaystyle v_{1},\ldots ,v_{m}}$, и ${\displaystyle w_{1},\ldots ,w_{n}}$.

Частичный след как квантовая операция

Рассмотрим двухчастичные состояния. Чистые вектора-состояния принадлежат гильбертову пространству ${\displaystyle H_{A}\otimes H_{B}}$, а матрицы плотности, соответственно, ${\displaystyle H_{A}\otimes H_{B}\otimes H_{A}^{*}\otimes H_{B}^{*}}$. Рассмотрим матрицу плотности ${\displaystyle \rho _{AB}\in H_{A}\otimes H_{B}\otimes H_{A}^{*}\otimes H_{B}^{*}}$.

${\displaystyle \{{\left|{i}\right\rangle }_{A}\}}$ и ${\displaystyle \{{\left|{i}\right\rangle }_{B}\}}$ — базисы пространств ${\displaystyle H_{A}}$ и ${\displaystyle H_{B}}$ соответственно.

Тогда подсистема ${\displaystyle A}$ описывается матрицей плотности ${\displaystyle \rho _{A}=\operatorname {Tr} _{B}(\rho _{AB})=\sum _{{\left|{i}\right\rangle }_{B}}{{\left\langle {i}\right|}_{B}\rho _{AB}{\left|{i}\right\rangle }_{B}}}$

Литература

• Д. А. Кронберг, Ю. И. Ожигов, А. Ю. Чернявский (2012). «Алгебраический аппарат квантовой информатики».