Характеристический класс

Характеристический класс — когомологический класс, сопоставляемый главному расслоению на топологическом пространстве.

История

Понятие характеристического класса появляется в 1935 в работaх Штифеля^[англ.] и Уитни о векторных полях на многообразиях.

Определение

Характеристический класс сопоставляет главному ${\displaystyle G}$-расслоению ${\displaystyle p:P\to X}$ элемент ${\displaystyle c_{p}\in H^{*}(X)}$ в когомологиях такой, что, если ${\displaystyle f:Y\to X}$ непрерывное отображение, и ${\displaystyle q:Q\to Y}$ индуцированное расслоение, то

${\displaystyle c_{q}=f^{*}(c_{p}),}$

где ${\displaystyle f^{*}:H^{*}(X)\to H^{*}(Y)}$ индуцированый гомоморфизм на когомологиях.

Связанные определения

Взяв ∪-npоизведение нескольких характеристических классов и подставив в него фундаментальный класс многообразия, можно получить инвариант главного расслоения, называемый характеристическим числом.

Примеры

• Класс Понтрягина
• Класс Штифеля — Уитни

Свойства

• Два многообразия бордантны тогда и только тогда, когда все их числа Штифеля — Уитни совпадают.
  • Для ориентированного бордизма требуется дополнительно совпадение всех чисел Понтрягина.

См. также

• Эйлерова характеристика

Ссылки

• Милнор Д., Сташеф Д; Характеристические классы, 1979, с.374.
• Allen Hatcher, Vector Bundles & K-Theory
• Shiing-Shen Chern, Complex Manifolds Without Potential Theory (Springer-Verlag Press, 1995) ISBN 0-387-90422-0, ISBN 3-540-90422-0.