Функция принадлежности

Функция принадлежности нечёткого множества — обобщение индикаторной (или характеристической) функции классического множества. В нечёткой логике она представляет степень принадлежности каждого члена пространства рассуждения к данному нечёткому множеству.

Определение

Для пространства рассуждения ${\displaystyle \mathbf {X} \ }$ и данной функции принадлежности ${\displaystyle \mu :\mathbf {X} \to [0,1]}$ нечёткое множество определяется как

${\displaystyle {\tilde {\mathit {A}}}=\{(x,\mu _{A}(x))\mid x\in \mathbf {X} \}.}$

Функция принадлежности ${\displaystyle \mu _{A}(x)\ }$ количественно градуирует принадлежность элементов фундаментального множества пространства рассуждения ${\displaystyle x\in \mathbf {X} }$ нечёткому множеству ${\displaystyle {\tilde {\mathit {A}}}}$. Значение ${\displaystyle 0\ }$ означает, что элемент не включен в нечёткое множество, ${\displaystyle 1\ }$ описывает полностью включенный элемент. Значения между ${\displaystyle 0\ }$ и ${\displaystyle 1\ }$ характеризуют нечётко включенные элементы.

Нечёткое множество и классическое, четкое (crisp) множество

Классификация функций принадлежности нормальных нечетких множеств

Нечеткое множество называется нормальным, если для его функции принадлежности ${\displaystyle \mu _{A}(x)\ }$ справедливо утверждение, что существует такой ${\displaystyle x\in \mathbf {X} }$, при котором ${\displaystyle \mu _{A}(x)=1\ }$.

Функция принадлежности класса s

Функция принадлежности класса s определяется как:

${\displaystyle s\left(x;a,b,c\right)=\left\{{\begin{matrix}0,&x\leqslant a,\\2\left({{x-a} \over {c-a}}\right)^{2},&a\leqslant x\leqslant b,\\1-2\left({{x-c} \over {c-a}}\right)^{2},&b\leqslant x\leqslant c,\\1,&x\geqslant c,\end{matrix}}\right.}$

где ${\displaystyle b={{a+c} \over {2}}}$.

Функция принадлежности класса π

Функция принадлежности класса π определяется через функцию класса s:

${\displaystyle \pi \left(x;a,b,c\right)=\left\{{\begin{matrix}s\left(x;c-b,c-{b \over 2},c\right),&x\leqslant c,\\1-s\left(x;c,c+{b \over 2},c+b\right),&x\geqslant c,\end{matrix}}\right.}$

где ${\displaystyle b={{a+c} \over {2}}}$.

Функция принадлежности класса γ

Функция принадлежности класса γ определяется как:

${\displaystyle \gamma \left(x;a,b\right)=\left\{{\begin{matrix}0,&x\leqslant a,\\{{x-a} \over {b-a}},&a\leqslant x\leqslant b,\\1,&x\geqslant b,\end{matrix}}\right.}$

Функция принадлежности класса t

Функция принадлежности класса t определяется как:

${\displaystyle t\left(x;a,b,c\right)=\left\{{\begin{matrix}0,&x\leqslant a,\\{{x-a} \over {b-a}},&a\leqslant x\leqslant b,\\{{c-x} \over {c-b}},&b\leqslant x\leqslant c,\\0,&x\geqslant c,\end{matrix}}\right.}$

Функция принадлежности класса L

Функция принадлежности класса L определяется как:

${\displaystyle L\left(x;a,b\right)=\left\{{\begin{matrix}1,&x\leqslant a,\\{{b-x} \over {b-a}},&a\leqslant x\leqslant b,\\0,&x\geqslant b,\end{matrix}}\right.}$

См. также

• Теория нечёткой меры
• Операции над нечёткими множествами
• Грубое множество
• Эвентология
• Скалярное ранжирование

Литература

• Д. Рутковская, М. Пилиньский, Л. Рутковский. Нейронные сети, генетические алгоритмы и нечеткие системы: Пер. с польского И. Д. Рудинского. — М.:Горячая линия — Телеком, 2004. — 452 с — ISBN 5-93517-103-1