Родился в городе Стратфорд-апон-Эйвон (графство Уорикшир, Англия).
Изучал медицину и естественные науки в Лондоне. В 1851 году получил степень врача, в 1854 году поступил военным врачом в действующую армию в Крыму.
По возвращении в Лондон назначен врачом и прозектором в госпитале Middlsex и с этих пор занялся изучением животных. В 1861 году назначен директором музея Королевского медицинского училища (College of Surgeons), обладающего великолепной анатомической коллекцией, которую Флауэр значительно увеличил. С 1869 года Флауэр читал лекции по анатомии в этом училище.
В 1884 году назначен директором естествоисторического отдела Британского музея, которым состоял до 1898 года.
Научные работы Флауэра касаются преимущественно сравнительной анатомии млекопитающих и человека. Он считался лучшим знатоком китовых, впервые изучил перемену зубов у сумчатых и произвёл весьма ценные исследования над сравнительной анатомией печени млекопитающих. В качестве управляющего богатейшего в мире музея Флауэр известен в особенности тем, что один из первых убедился в необходимости отделить выставочные коллекции, предназначенные для публики, от коллекций для научных исследований.
Вместе с Лидеккером Флауэр издал учебник «Introduction to the Study of Mammals» в Лондоне.