Фильтр Лежандра

Линейные электронные фильтры
Фильтр Баттерворта Фильтр Чебышёва Эллиптический фильтр Фильтр Бесселя Фильтр Гаусса Фильтр Лежандра Фильтр Габора

Сравнение амплитудно-частотных характеристик фильтров Баттерворта, Чебышёва и Лежандра с коэффициентом передачи в полосе пропускания равным 1. Частота нормирована к частоте среза.

Фильтр Лежа́ндра — электронный фильтр, для расчёта коэффициентов которого используются многочлены Лежандра. Был предложен Атанасиосом Папулисом в 1958 году. Имеет крутой спад амплитудно-частотной характеристики, не обладает пульсациями характеристики. Является компромиссным решением между фильтром Баттерворта (имеющим монотонную характеристику) и Чебышёва (обладающим крутым спадом характеристики).

Передаточная функция

Квадрат амплитудно-частотной характеристики для фильтра порядка ${\displaystyle n}$ выражается через полиномы Лежандра ${\displaystyle L_{n}}$:

${\displaystyle M_{n}^{2}(\omega )={\frac {1}{1+L_{n}(\omega ^{2})}},}$

выбор порядка ${\displaystyle n}$ полинома ${\displaystyle L_{n}}$ производится согласно некоторому критерию качества фильтра, в частности монотонности передаточной характеристики в полосе пропускания и максимально быстрому спаду в полосе подавления. Эти ограничения выражаются[1]:

${\displaystyle L_{n}(0)=0,}$

${\displaystyle L_{n}(1)=1.}$

Условие монотонности:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \omega }}L_{n}(\omega ^{2})\geq 0.}$

И условие максимальной крутизны в полосе подавления при ${\displaystyle \omega \geq 1}$:

${\displaystyle \left.{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \omega }}L_{n}(\omega ^{2})\right|_{\omega =1}={\text{Maximum}}.}$

Примечания

1. Domschke et al.: Übungen und Fallbeispiele zum Operations Research, Springer, 8. Auflage, 2015, Symbolverzeichnis + S. 16f, 20, 25. Schwenkert, Stry: Operatins Research kompakt, Springer, 2015, S. 5, 11, 232.Zimmermann: Operations Research, Vieweg, 2. Auflage, 2008, S. 56, 71, 89.

См. также

• Линейный фильтр
• Цифровая обработка сигналов
• Цифровая обработка изображений
• БИХ-фильтр

Литература

• Kuo, Franklin F. Network Analysis and Synthesis. — Wiley, 1966. — ISBN 0471511188.

Ссылки

• Фильтр Лежандра (англ.)
• Сравнение линейных фильтров (англ.)