Участник:Singul/Черновик 3

Формула среднего значения для определённых интегралов — одна из ключевых формул интегрального исчисления, позволяющая оценить величину определённого интеграла, исходя из оценок и свойств интегрируемой функции.

Теорема (о формуле среднего значения). Пусть:

1) функции ${\displaystyle f(x)}$ и ${\displaystyle g(x)}$ интегрируемы на отрезке ${\displaystyle [a,b]}$,

2) ${\displaystyle \forall x\in [a,b]\Rightarrow m\leq f(x)\leq M}$,

3) ${\displaystyle \forall x\in [a,b]\Rightarrow g(x)\geq 0(\leq 0)}$.

Тогда существует такое ${\displaystyle \mu \in [m,M]}$, что ${\displaystyle \int \limits _{a}^{b}f(x)\,g(x)\,dx=\mu \int \limits _{a}^{b}g(x)\,dx.}$

Если ${\displaystyle g(x)\not \equiv 0}$ на ${\displaystyle [a,b]}$, то число ${\displaystyle \mu }$ называют средним значением

Как правило, формулу Ньютона-Лейбница получают с помощью формулы среднего значения для определённых интегралов.