Условная вероятность

Усло́вная вероя́тность — вероятность наступления события ${\displaystyle A}$ при условии, что событие ${\displaystyle B}$ произошло. Вероятность события ${\displaystyle A}$, вычисленную в предположении, что о результате эксперимента уже что-то известно (событие ${\displaystyle B}$ произошло), мы будем обозначать через ${\displaystyle P(A|B)}$. Например, вероятность того, что у какого-то человека будет кашель в произвольный день, ${\displaystyle 5\%}$. Но если мы знаем или предполагаем, что у человека простуда, тогда у него гораздо больше шансов начать кашлять. Таким образом, условная вероятность кашля у любого человека при условии, что он простужен, выше ${\displaystyle 75\%}$.

Очевидный частный случай: ${\displaystyle P(A|A)=1=100\%}$ неплохо иллюстрируется шуткой «Интернет-опрос показал, что 100 % респондентов пользуются интернетом».

Условная вероятность является одним из наиболее фундаментальных и одним из наиболее важных понятий теории вероятностей.

Если ${\displaystyle P(A|B)=P(A)}$, то события ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ называются независимыми, то есть знание об одном из них не влияет на вероятность другого. Кроме того, в общем случае ${\displaystyle P(A|B)\neq P(B|A)}$. Например, если у вас лихорадка денге (событие ${\displaystyle B}$), то вероятность получить положительный результат теста на лихорадку (событие ${\displaystyle A}$) ${\displaystyle 90\%}$, то есть ${\displaystyle P(A|B)=90\%}$. И, наоборот, если вы получили положительный результат теста на лихорадку денге, вероятность того, что она у вас есть всего ${\displaystyle 15\%}$. В этом случае произошло событие ${\displaystyle B}$ (наличие лихорадки денге) при условии события ${\displaystyle A}$ (тест положительный), то есть ${\displaystyle P(B|A)=15\%}$. При ошибочном приравнивании двух вероятностей возникают различные заблуждения, такие как ошибка базового процента. Для точного подсчета условной вероятности используют теорему Байеса.

Определение

В соответствии с событием

Определение Колмогорова

Пусть два события ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ принадлежат ${\displaystyle \sigma }$- полю вероятностного пространства и ${\displaystyle P(B)>0}$. Условная вероятность ${\displaystyle A}$ при условии ${\displaystyle B}$ равняется частному от деления вероятности событий ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ на вероятность ${\displaystyle B}$:

${\displaystyle P(A|B)={\frac {P(A\cap B)}{P(B)}}}$

Обратите внимание на то, что это определение, а не теоретический результат. Мы просто обозначаем величину ${\displaystyle {\displaystyle {\frac {P(A\cap B)}{P(B)}}}}$ как ${\displaystyle P(A|B)}$ и называем её условной вероятностью ${\displaystyle A}$ при условии ${\displaystyle B}$.

Условная вероятность как аксиома вероятности

Некоторые авторы, такие как де Финетти, предпочитают вводить условную вероятность как аксиому вероятности:

${\displaystyle P(A\cap B)=P(A|B)P(B)}$.

Условная вероятность как вероятность условного события

Условную вероятность можно обозначить как вероятность условного события ${\displaystyle A_{B}}$. Предполагается, что испытание, лежащее в основе событий ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$, повторяется. Тогда условная вероятность равна

${\displaystyle {\displaystyle P(A_{B})={\frac {P(A\cap B)}{P(B)}}},}$

что соответствует определению условной вероятности Колмогорова. Заметим, что уравнение ${\displaystyle {\displaystyle P(A_{B})=P(A\cap B)/P(B)}}$является теоретическим результатом, а не определением. Определение через условные события можно понять в терминах аксиом Колмогорова и, особенно близко к колмогоровской интерпретации вероятности, в терминах экспериментальных данных. Например, условные события могут повторяться, что приводит к обобщенному понятию условного события ${\displaystyle {\displaystyle A_{B(n)}}.}$ Их можно записать как последовательность независимых и одинаково распределенных случайных величин ${\displaystyle {\displaystyle (A_{B(n)})_{n\geq 1}},}$откуда следует усиленный закон больших чисел для условной вероятности:

${\displaystyle {\displaystyle P({\underset {n\longrightarrow \infty }{\lim }}{\overline {A_{B}^{n}}}=P(A|B))=100\%}.}$

Теоретико-множественное определение

Если ${\displaystyle P(B)=0}$, то, согласно определению, условная вероятность ${\displaystyle P(A|B)}$не задана. Однако её можно определить относительно σ-алгебры таких событий (например, возникающих из непрерывной случайной величины).

Например, если ${\displaystyle X}$и ${\displaystyle Y}$- невырожденные и совместно непрерывные случайные величины с плотностью распределения ${\displaystyle f_{X,Y}(x,y)}$ и ${\displaystyle B}$ имеет положительную меру, то

${\displaystyle {\displaystyle P(X\in A\mid Y\in B)={\frac {\int _{y\in B}\int _{x\in A}f_{X,Y}(x,y)\,dx\,dy}{\int _{y\in B}\int _{x\in \mathbb {R} }f_{X,Y}(x,y)\,dx\,dy}}.}}$

Случай, когда мера ${\displaystyle B}$ равна нулю, проблематичен. Если ${\displaystyle B=\{y_{0}\}}$, то условную вероятность можно попытаться записать в виде

${\displaystyle {\displaystyle P(X\in A\mid Y=y_{0})={\frac {\int _{x\in A}f_{X,Y}(x,y_{0})\,dx}{\int _{x\in \mathbb {R} }f_{X,Y}(x,y_{0})\,dx}},}}$

однако этот подход приводит к парадоксу Бореля — Колмогорова. Общий случай нулевой меры еще более проблематичен, потому что предел, при всех ${\displaystyle \delta y_{i}}$стремящихся к нулю,

${\displaystyle {\displaystyle P(X\in A\mid Y\in \cup _{i}[y_{i},y_{i}+\delta y_{i}])\approxeq {\frac {\sum _{i}\int _{x\in A}f_{X,Y}(x,y_{i})\,dx\,\delta y_{i}}{\sum _{i}\int _{x\in \mathbb {R} }f_{X,Y}(x,y_{i})\,dx\,\delta y_{i}}},}}$

зависит от их отношения, когда они стремятся к нулю.

Корректно условную вероятность в общем виде можно задать как условное математическое ожидание от индикаторной функции. При этом, поскольку условное математическое ожидание задано с точностью до почти всюду, условную вероятность от события, имеющего вероятность ноль, можно доопределить произвольным образом. Ситуация меняется, если событие зависит от некоторого параметра. В этом случае, хотя вероятность каждого значения параметра может оказаться ноль, а значит и условная вероятность при каждом таком параметре формально не задана, можно определить зависящую от параметра условную вероятность так, чтобы она была корректна определена почти всюду.

В соответствии со случайной величиной

Пусть ${\displaystyle X}$ — случайная величина, а ${\displaystyle A}$ — событие. Условная вероятность ${\displaystyle A}$ при условии ${\displaystyle X}$ обозначается как случайная величина ${\displaystyle P(A|X)}$, которая принимает значение

${\displaystyle P(A\mid X=x)}$

всякий раз, когда

${\displaystyle X=x.}$

Это можно записать более формально

${\displaystyle P(A|X)(\omega )=P(A\mid X=X(\omega )).}$

Теперь условная вероятность ${\displaystyle P(A|X)}$ уже является функцией от ${\displaystyle X}$: например, если функция ${\displaystyle g}$ определяется как

${\displaystyle {\displaystyle g(x)=P(A\mid X=x),}}$

тогда

${\displaystyle {\displaystyle P(A|X)=g\circ X.}}$

В частности, ${\displaystyle P(A|X)}$ задано только почти всюду. В общем случае, ${\displaystyle P(A|X)}$ корректно ввести через условное математическое ожидание: условное математическое ожидание функции ${\displaystyle g}$ относительно случайной величины ${\displaystyle X}$. В случае дискретной случайной величины ${\displaystyle X}$ корректно воспользоваться теоретико-множественным определением, поскольку события ${\displaystyle X=x}$имеют ненулевую вероятность.

Частичная условная вероятность

Частичная условная вероятность ${\displaystyle {\displaystyle P(A|B_{1}\equiv b_{1}\cdots B_{m}\equiv b_{m})}}$ события ${\displaystyle A}$ при условии событий ${\displaystyle B_{i}}$, произошедших с вероятностью ${\displaystyle b_{i}}$не равна ${\displaystyle 100\%.}$

Частичная условная вероятность имеет смысл, если условия проверятся в серии из ${\displaystyle n}$повторений эксперимента. Такая ${\displaystyle n}$ — ограниченная частичная условная вероятность может быть определена как условное математическое ожидание появления события ${\displaystyle A}$ в серии из ${\displaystyle n}$проверок, которые соответствуют всем вероятностным спецификациям ${\displaystyle {\displaystyle B_{i}\equiv b_{i}}}$, то есть:

${\displaystyle {\displaystyle P^{n}(A|B_{1}\equiv b_{1}\cdots B_{m}\equiv b_{m})=E({\overline {A^{n}}}|{\overline {B_{1}^{n}}}=b_{1}\cdots {\overline {B_{m}^{n}}}=b_{m})}}$

Исходя из этого, частичную условную вероятность можно записать как

${\displaystyle {\displaystyle P(A|B_{1}\equiv b_{1}\cdots B_{m}\equiv b_{m})={\underset {n\longrightarrow \infty }{lim}}P^{n}(A|B_{1}\equiv b_{1}\cdots B_{m}\equiv b_{m})}}$, где ${\displaystyle b_{i},n\in \mathbb {N} }$

Примеры

Предположим, что кто-то бросает две честные шестигранные кости, и мы должны предсказать результат.

Пусть ${\displaystyle D_{1}}$- значение, выпавшее на первой кости.

Пусть ${\displaystyle D_{2}}$ — значение, выпавшее на второй кости.

Какова вероятность того, что ${\displaystyle D_{1}=2}$?

В таблице 1 показано вероятностное пространство из ${\displaystyle 36}$ случаев.

Также общее количество исходов равно числу размещений c повторениями ${\displaystyle {\bar {A_{6}^{2}}}=6^{2}=36.}$

Ясно, что ${\displaystyle D_{1}=2}$ ровно в ${\displaystyle 6}$ случаях из ${\displaystyle 36}$; таким образом, ${\displaystyle P(D_{1}=2)=6/36=1/6.}$

Таблица 1

+		${\displaystyle D_{2}}$
		1	2	3	4	5	6
${\displaystyle D_{1}}$	1	2	3	4	5	6	7
	2	3	4	5	6	7	8
	3	4	5	6	7	8	9
	4	5	6	7	8	9	10
	5	6	7	8	9	10	11
	6	7	8	9	10	11	12

Какова вероятность того, что ${\displaystyle D_{1}+D_{2}\leq 5}$?

В таблице 2 показано, что ${\displaystyle D_{1}+D_{2}\leq 5}$ ровно для ${\displaystyle 10}$ из тех же ${\displaystyle 36}$ результатов, таким образом, ${\displaystyle P(D_{1}+D_{2}\leq 5)=10/36.}$

Таблица 2

+		${\displaystyle D_{2}}$
		1	2	3	4	5	6
${\displaystyle D_{1}}$	1	2	3	4	5	6	7
	2	3	4	5	6	7	8
	3	4	5	6	7	8	9
	4	5	6	7	8	9	10
	5	6	7	8	9	10	11
	6	7	8	9	10	11	12

Какова вероятность того, что ${\displaystyle D_{1}=2}$ при условии, что ${\displaystyle D_{1}+D_{2}\leq 5}$?

В таблице 3 показано, что ${\displaystyle D_{1}=2}$ при условии, что ${\displaystyle D_{1}+D_{2}\leq 5}$ ровно для ${\displaystyle 3}$ из ${\displaystyle 10}$ результатов .

Таким образом, условная вероятность ${\displaystyle P(D_{1}=2|D_{1}+D_{2}\leq 5)=3/10=0,3.}$ Это видно из определения, введенного нами ранее:

${\displaystyle \displaystyle P(A|B)={\tfrac {P(A\cap B)}{P(B)}}={\tfrac {3/36}{10/36}}={\tfrac {3}{10}}}$

здесь ${\displaystyle P(A\cap B)}$ — вероятность совместного появления двух зависимых событий, которая вычисляется как

отношение числа благоприятных исходов ${\displaystyle 1*3}$ (количество размещений двух костей с ${\displaystyle D_{2}\leq 3}$ и ${\displaystyle D_{1}=2}$) к числу всех возможных исходов ${\displaystyle 36}$.

Таблица 3

+		${\displaystyle D_{2}}$
		1	2	3	4	5	6
${\displaystyle D_{1}}$	1	2	3	4	5	6	7
	2	3	4	5	6	7	8
	3	4	5	6	7	8	9
	4	5	6	7	8	9	10
	5	6	7	8	9	10	11
	6	7	8	9	10	11	12

Независимость событий

События ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ называются независимыми, если

${\displaystyle {\displaystyle P(A\cap B)=P(A)P(B).}}$

Если ${\displaystyle P(B)\neq 0}$, то

${\displaystyle {\displaystyle P(A|B)=P(A).}}$

Аналогично, если ${\displaystyle P(A)\neq 0}$, то

${\displaystyle {\displaystyle P(B|A)=P(B).}}$

Независимые события против взаимоисключающих событий

Как говорилось ранее, независимость событий означает, что

${\displaystyle {\displaystyle P(A|B)=P(A)\quad {\text{и}}\quad P(B|A)=P(B)}}$

при условии, что вероятность условия не равна нулю. Однако если события взаимоисключающие, то

${\displaystyle {\displaystyle P(A|B)=0,\quad P(B|A)=0,\quad {\text{и}}\quad P(A\cap B)=0.}}$

Фактически, взаимоисключающие события не могут быть независимыми, поскольку знание о том, что одно из событий произошло, говорит о том, что другое не произошло.

Заблуждения

Вероятность события А при условии B равна вероятности события B при условии А

В общем случае нельзя считать, что ${\displaystyle P(A|B)\approx P(B|A).}$ Связь между ${\displaystyle {\displaystyle P(A|B)}}$ и ${\displaystyle {\displaystyle P(B|A)}}$ задается формулой Байеса:

${\displaystyle {\displaystyle {\begin{aligned}P(B|A)&={\frac {P(A|B)P(B)}{P(A)}}\Leftrightarrow {\frac {P(B|A)}{P(A|B)}}={\frac {P(B)}{P(A)}}\end{aligned}}}}$

То есть ${\displaystyle P(A|B)\approx P(B|A),}$ только если ${\displaystyle {\frac {P(B)}{P(A)}}\approx 1,}$ что равносильно ${\displaystyle P(A)\approx P(B).}$

Предельная вероятность равна условной вероятности

В общем случае нельзя считать, что ${\displaystyle P(A)\approx P(A|B).}$ Эти вероятности связаны формулой полной вероятности:

${\displaystyle P(A)=\sum _{n}P(A\cap B_{n})=\sum _{n}P(A|B_{n})P(B_{n}),}$

где события ${\displaystyle B_{n}}$образуют счетное разбиение ${\displaystyle \Omega }$.

Это заблуждение может возникнуть в результате смещения выбора. Например, в контексте медицинского утверждения, ${\displaystyle S_{C}}$является событием, которое происходит вследствие хронической болезни ${\displaystyle S}$ при обстоятельстве (острое состояние) ${\displaystyle C}$. Пусть ${\displaystyle H}$- событие, когда человек обращается за медицинской помощью. Предположим, что в большинстве случаев ${\displaystyle C}$ не вызывает ${\displaystyle S}$, поэтому ${\displaystyle P(S_{C})}$ является низкой. Предположим также, что медицинское вмешательство требуется только, если ${\displaystyle S}$ произошло из-за ${\displaystyle C}$. Исходя из опыта пациентов, врач может ошибочно заключить, что ${\displaystyle P(S_{C})}$ высока. Фактической вероятностью, наблюдаемой врачом, является ${\displaystyle P(S_{C}|H)}$.

Формальное определение

Формально ${\displaystyle {\displaystyle P(A|B)}}$ можно задать как новую вероятность на том же вероятностном пространстве, потребовав, чтобы вероятность событий, содержащихся целиком в ${\displaystyle B}$, изменилась в одно и то же число раз, а события, целиком содержащиеся в не ${\displaystyle B}$, имеют вероятность ${\displaystyle 0}$.

Пусть ${\displaystyle \Omega }$- пространство элементарных исходов ${\displaystyle \{\omega \}}$. Предположим, что произошло событие ${\displaystyle B\subseteq \Omega }$. Новое значение вероятности будет присвоено ${\displaystyle \{\omega \}}$. Новое распределение для некоторого постоянного коэффициента ${\displaystyle \alpha }$равно:

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\text{1. }}\omega \in B:P(\omega |B)=\alpha P(\omega )\\&{\text{2. }}\omega \notin B:P(\omega |B)=0\\&{\text{3. }}\sum _{\omega \in \Omega }{P(\omega |B)}=1.\end{aligned}}}$

Подставляем 1 и 2 в 3, чтобы выразить α:

${\displaystyle {\displaystyle {\begin{aligned}1&=\sum _{\omega \in \Omega }{P(\omega |B)}=\sum _{\omega \in B}{P(\omega |B)}+{\cancelto {0}{\sum _{\omega \notin B}P(\omega |B)}}=\alpha \sum _{\omega \in B}{P(\omega )}=\alpha \cdot P(B)\Rightarrow \alpha ={\frac {1}{P(B)}}\end{aligned}}}}$

Таким образом, новое распределение равно

${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{1. }}\omega \in B&:P(\omega |B)={\frac {P(\omega )}{P(B)}}\\{\text{2. }}\omega \notin B&:P(\omega |B)=0\end{aligned}}}$

Теперь для события ${\displaystyle A}$:

${\displaystyle {\begin{aligned}P(A|B)&=\sum _{\omega \in A\cap B}{P(\omega |B)}+{\cancelto {0}{\sum _{\omega \in A\cap B^{c}}P(\omega |B)}}=\sum _{\omega \in A\cap B}{\frac {P(\omega )}{P(B)}}={\frac {P(A\cap B)}{P(B)}}\end{aligned}}}$

См. также

• Вероятность
• Независимость
• Условное математическое ожидание
• Формула полной вероятности
• Теорема Байеса
• Парадокс Монти Холла
• Задача о двух конвертах