Уравнение движения сплошной среды

Уравнение движения сплошной среды — векторное уравнение, выражающее баланс импульса для сплошной среды:

${\displaystyle \rho {\frac {d{\vec {v}}}{dt}}=\nabla \cdot T+\rho {\vec {f}}}$, где

• ${\displaystyle \rho }$ — плотность в точке,
• ${\displaystyle {\vec {v}}}$ — скорость в точке,
• ${\displaystyle {\frac {d}{dt}}}$ — материальная (субстанциональная, полная) производная,
• ${\displaystyle T}$ — тензор напряжений Коши,
• ${\displaystyle {\vec {f}}}$ — вектор внешних массовых сил.

Историческая справка

Уравнение движения в общем виде было получено Коши в начале 1820-х гг. (анонс относится к 30 сентября 1822 г.[1], краткая публикация в 1823 г.[2], полная публикация — в 1828 г.[3]).

Вид уравнения в декартовой системе координат

В прямоугольной декартовой системе координат три проекции уравнения движения сплошной среды имеют вид[4]

${\displaystyle \rho \left({\frac {\partial v_{x}}{\partial t}}+v_{x}{\frac {\partial v_{x}}{\partial x}}+v_{y}{\frac {\partial v_{x}}{\partial y}}+v_{z}{\frac {\partial v_{x}}{\partial z}}\right)={\frac {\partial p_{xx}}{\partial x}}+{\frac {\partial p_{xy}}{\partial y}}+{\frac {\partial p_{xz}}{\partial z}}+\rho F_{x},}$

${\displaystyle \rho \left({\frac {\partial v_{y}}{\partial t}}+v_{x}{\frac {\partial v_{y}}{\partial x}}+v_{y}{\frac {\partial v_{y}}{\partial y}}+v_{z}{\frac {\partial v_{y}}{\partial z}}\right)={\frac {\partial p_{yx}}{\partial x}}+{\frac {\partial p_{yy}}{\partial y}}+{\frac {\partial p_{yz}}{\partial z}}+\rho F_{y},}$

${\displaystyle \rho \left({\frac {\partial v_{z}}{\partial t}}+v_{x}{\frac {\partial v_{z}}{\partial x}}+v_{y}{\frac {\partial v_{z}}{\partial y}}+v_{z}{\frac {\partial v_{z}}{\partial z}}\right)={\frac {\partial p_{zx}}{\partial x}}+{\frac {\partial p_{zy}}{\partial y}}+{\frac {\partial p_{zz}}{\partial z}}+\rho F_{z},}$

где ${\displaystyle \rho (x,y,z,t)}$ — плотность сплошной среды, ${\displaystyle v_{x}(x,y,z,t)}$, ${\displaystyle v_{y}(x,y,z,t)}$, ${\displaystyle v_{z}(x,y,z,t)}$ — проекции скорости среды, ${\displaystyle p_{ij}}$ — компоненты тензора напряжений, ${\displaystyle F_{x}(x,y,z,t)}$, ${\displaystyle F_{y}(x,y,z,t)}$, ${\displaystyle F_{z}(x,y,z,t)}$ — компоненты вектора массовой плотности объёмных сил, действующих на сплошную среду (сила в расчёте на единицу массы). Если используемая система отсчёта не является инерциальной, то в число массовых сил нужно включать силы инерции.

Выражения, стоящие в скобках в левых частях, являются проекциями ускорения, поэтому в некотором смысле уравнение движения можно рассматривать как обобщение второго закона Ньютона для материальной точки постоянной массы.

В произвольной криволинейной системе координат уравнение движения имеет вид

${\displaystyle \rho \left({\frac {\partial v^{i}}{\partial t}}+v^{k}\nabla _{k}v^{i}\right)=\nabla _{k}p^{ik}+\rho F^{i},\quad i=1,2,3,}$

где символ ${\displaystyle \nabla _{i}}$ обозначает ковариантную производную по ${\displaystyle i}$-ой координате, а по повторяющемуся индексу ${\displaystyle k}$ производится суммирование от одного до трёх.

Специальные формы уравнения

Если сплошная среда покоится (относительно используемой системы координат), ${\displaystyle {\vec {v}}\equiv 0}$, то уравнения движения превращаются в уравнения равновесия

${\displaystyle 0={\frac {\partial p_{xx}}{\partial x}}+{\frac {\partial p_{xy}}{\partial y}}+{\frac {\partial p_{xz}}{\partial z}}+\rho F_{x},}$

${\displaystyle 0={\frac {\partial p_{yx}}{\partial x}}+{\frac {\partial p_{yy}}{\partial y}}+{\frac {\partial p_{yz}}{\partial z}}+\rho F_{y},}$

${\displaystyle 0={\frac {\partial p_{zx}}{\partial x}}+{\frac {\partial p_{zy}}{\partial y}}+{\frac {\partial p_{zz}}{\partial z}}+\rho F_{z}.}$

Частными случаями уравнения движения являются

• уравнение Эйлера (уравнение движения для идеальной жидкости);
• уравнение Навье — Стокса (уравнение движения для линейно-вязкой жидкости);
• уравнение Навье — Ламе (уравнение движения для малых деформаций линейно-упругой среды).

Примечания

1. Трусделл К. Очерки по истории механики. — М.-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2002. — 316 с. — ISBN 5-93972-192-3. Архивировано 7 декабря 2013 года.
2. Cauchy. Recherches sur l'équilibre et le mouvement intérieur des corps solides, élastiques ou non élastiques // Bulletin de la Société Philomatique. — 1823. Архивировано 7 декабря 2013 года.
3. Cauchy. Sur les équations qui expriment les conditions d'équilibre ou les lois du mouvement intérieur d'un corps solide, élastique ou non élastique. — 1828. Архивировано 7 декабря 2013 года.
4. Седов Л.И. Механика сплошной среды. — М.: Наука, 1970. — Т. 1. — 492 с. Архивировано 28 ноября 2014 года.