Уравнение движения в неинерциальной системе отсчёта

Уравнения движения в неинерциальной системе отсчёта — уравнения движения материальной точки (1) в поле консервативных сил в классической механике, записанные в неинерциальной системе отсчёта (НСО), движущейся относительно инерциальной системы (ИСО) со скоростью поступательного движения ${\displaystyle \mathbf {V} }$ и угловой скоростью вращательного движения ${\displaystyle \mathbf {\Omega } }$.

В ИСО уравнение движения Лагранжа имеет вид[1][2]:

${\displaystyle m{\frac {d\mathbf {v} _{0}}{dt}}=-{\frac {\partial U}{\partial \mathbf {r} }},}$

в НСО уравнение приобретает четыре дополнительных члена (так называемые «эйлеровы силы инерции»)[3]:

${\displaystyle m{\frac {d\mathbf {v} }{dt}}=-{\frac {\partial U}{\partial \mathbf {r} }}-m{\frac {d\mathbf {V} }{dt}}+m[\mathbf {r} {\frac {d\mathbf {\Omega } }{dt}}]+2m[\mathbf {v} \mathbf {\Omega } ]+m[\mathbf {\Omega } [\mathbf {r} \mathbf {\Omega } ]],}$ (1)

где:

• жирным шрифтом обозначены векторные величины, квадратными скобками — векторное умножение;
• индекс ${\displaystyle _{0}}$ относится к величинам в ИСО;
• ${\displaystyle t}$ — время;
• ${\displaystyle m}$ — масса точки;
• ${\displaystyle \mathbf {v} }$ — вектор скорости точки;
• ${\displaystyle \mathbf {r} }$ — радиус-вектор точки;
• ${\displaystyle U}$ — потенциальная энергия.

Вывод формулы

Всякое движение может быть разложено в композицию поступательного и вращательного движений[4]. Потому переход от ИСО К₀ к НСО К может рассматриваться в виде двух последовательных шагов: вначале переход от К₀ к промежуточной системе отсчёта К' , которая движется поступательно по отношению к К₀ со скоростью ${\displaystyle \mathbf {V} }$, а затем уже к К, которая вращается относительно К' с угловой скоростью ${\displaystyle \mathbf {\Omega } }$.

Принцип наименьшего действия не зависит от системы координат, вместе с ним уравнения Лагранжа также применимы в любой системе координат.

Лагранжиан в К',

${\displaystyle L'={\frac {m\mathbf {v} '^{2}}{2}}+m\mathbf {v} '\mathbf {V} +{\frac {m\mathbf {V} ^{2}}{2}}-U,}$ (2)

получается путём подстановки поступательного преобразования скорости частицы ${\displaystyle \mathbf {v} _{0}=\mathbf {v} '+\mathbf {V} }$ в лагранжиан, записанный в ИСО[5]:

${\displaystyle L_{0}={\frac {m\mathbf {v} _{0}^{2}}{2}}-U.}$

Выражения и для ИСО, и для НСО описывают эволюцию частицы в соответствующих системах отсчёта — закон сохранения энергии.

Как известно, члены, представляющие собой полные производные по времени некоторых функций, могут быть исключены из лагранжиана, так как они не влияют на уравнения движения (см. Лагранжева механика). В формуле (2) ${\displaystyle \mathbf {V} ^{2}}$ является функцией времени, и, тем самым, полной производной другой функции времени, соответствующий член может быть опущен. Поскольку ${\displaystyle \mathbf {v} '={\frac {d\mathbf {r} '}{dt}}}$,

${\displaystyle m\mathbf {v} '\mathbf {V} =m\mathbf {V} {\frac {d\mathbf {r} '}{dt}}={\frac {d}{dt}}(m\mathbf {V} \mathbf {r} ')-m{\frac {d\mathbf {V} }{dt}}\mathbf {r} ',}$

где полная производная ${\displaystyle m\mathbf {V} \mathbf {r} '}$ по времени опять-таки может быть опущена. В итоге лагранжиан (2) преобразуется в

${\displaystyle L'={\frac {m\mathbf {v} '^{2}}{2}}-m{\frac {d\mathbf {V} }{dt}}\mathbf {r} '-U.}$ (3)

При переходе от К' к К (чистое вращение) скорость изменяется на ${\displaystyle [\mathbf {\Omega } \mathbf {r} ]}$. При подстановке ${\displaystyle \mathbf {v} '=\mathbf {v} +[\mathbf {\Omega } \mathbf {r} ]}$ в уравнение (3) образуется лагранжиан в К (учитывая, что ${\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {r} '}$):

${\displaystyle L={\frac {m\mathbf {v} ^{2}}{2}}+m\mathbf {v} [\mathbf {\Omega } \mathbf {r} ]+{\frac {m}{2}}[\mathbf {\Omega } \mathbf {r} ]^{2}-m{\frac {d\mathbf {V} }{dt}}\mathbf {r} -U.}$

Полный дифференциал этого лагранжиана выглядит как:

${\displaystyle dL=m\mathbf {v} d\mathbf {v} +md\mathbf {v} [\mathbf {\Omega } \mathbf {r} ]+m\mathbf {v} [\mathbf {\Omega } d\mathbf {r} ]+m[\mathbf {\Omega } \mathbf {r} ][\mathbf {\Omega } d\mathbf {r} ]-m{\frac {d\mathbf {V} }{dt}}d\mathbf {r} -{\frac {\partial U}{\partial \mathbf {r} }}d\mathbf {r} }$.

Применив формулу Лагранжа и изменив порядок операций в смешанном произведении векторов, дифференциал лагранжиана можно переписать в виде:

${\displaystyle dL=m\mathbf {v} d\mathbf {v} +md\mathbf {v} [\mathbf {\Omega } \mathbf {r} ]+md\mathbf {r} [\mathbf {v} \mathbf {\Omega } ]+m[[\mathbf {\Omega } \mathbf {r} ]\mathbf {\Omega } ]d\mathbf {r} -m{\frac {d\mathbf {V} }{dt}}d\mathbf {r} -{\frac {\partial U}{\partial \mathbf {r} }}d\mathbf {r} .}$

Частные производные лагранжиана по ${\displaystyle \mathbf {v} }$ и ${\displaystyle \mathbf {r} }$ соответственно будут:

${\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial \mathbf {v} }}=m\mathbf {v} +m[\mathbf {\Omega } \mathbf {r} ],}$

${\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial \mathbf {r} }}=m[\mathbf {v} \mathbf {\Omega } ]+m[[\mathbf {\Omega } \mathbf {r} ]\mathbf {\Omega } ]-m{\frac {d\mathbf {V} }{dt}}-{\frac {\partial U}{\partial \mathbf {r} }}.}$

После подстановки частных производных в стандартное уравнение движения в форме Эйлера-Лагранжа

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial \mathbf {v} }}={\frac {\partial L}{\partial \mathbf {r} }},}$

получается формула (1).

Физический смысл

Векторное уравнение (1) описывает движение материальной точки в неинерциальной системе отсчёта (НСО), движущейся относительно инерциальной системы (ИСО) со скоростью поступательного движения и угловой скоростью вращательного движения. При этом, приложенная к телу внешняя сила, обеспечивающая поступательное движение, заменена потенциальным полем, в котором действуют консервативные силы.[6]

При этом, движение НСО относительно ИСО называют переносным, вследствие чего, скорости, ускорения и силы, связанные с НСО, также называются переносными.[7][8]

Выражение ${\displaystyle m{\frac {d\mathbf {v} }{dt}}}$ — результирующий вектор суммы сил, находящихся в правой части уравнения (1)[9].

Частная производная потенциальной энергии ${\displaystyle U}$ частицы во внешнем поле по радиусу—вектору ${\displaystyle \mathbf {r} }$ «точки приложения» сил определяет сумму всех сил, действующих со стороны внешних источников[9],

${\displaystyle -{\frac {\partial U}{\partial \mathbf {r} }}}$.

Выражение переносной силы, действующей в однородном силовом поле, которое, в свою очередь, вызвано ускоренным поступательным движением системы, имеет вид

${\displaystyle m{\frac {d\mathbf {V} }{dt}}}$,

где ${\displaystyle {\frac {d\mathbf {V} }{dt}}}$ — ускорение поступательного движения системы отсчёта ${\displaystyle K'}$[9].

«Силы инерции» в уравнении (1), обусловленные вращением системы отсчета, слагаются из трех частей.

Первая часть представляет из себя переносную силу, связанную с неравномерностью вращения системы отсчёта[9]:

${\displaystyle m[\mathbf {r} {\frac {d\mathbf {\Omega } }{dt}}]}$.

Вторая часть

${\displaystyle 2m[\mathbf {v} \mathbf {\Omega } ]}$

является выражением силы Кориолиса. В отличие от практически всех рассматриваемых в классической механике не диссипативных сил, её величина зависит от скорости частицы[9].

Третья часть представлена переносной центробежной силой

${\displaystyle m[\mathbf {\Omega } [\mathbf {r} \mathbf {\Omega } ]]}$.

Она лежит в плоскости, проходящей через ${\displaystyle \mathbf {r} }$ и ${\displaystyle \mathbf {\Omega } }$, и направлена перпендикулярно к оси вращения НСО (то есть направлению ${\displaystyle \mathbf {\Omega } }$), в сторону от оси. По величине центробежная сила равна ${\displaystyle m\rho \Omega ^{2}}$, где ${\displaystyle \rho }$ — расстояние от частицы до оси вращения.[9]

Примечания

1. Ландау, Лифшиц, 1988, с. 163.
2. Под производной скалярной величины по вектору здесь и далее понимается вектор, компоненты которого представляют собой производные этой скалярной величины по соответствующим компонентам вектора.
3. Ландау, Лифшиц, 1988, с. 165.
4. Арнольд, 1979, с. 107.
5. Ландау, Лифшиц, 1988, с. 164.
6. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. § 34. Движение двёрдого тела. //Т. I. Механика. Теоретическая физика. — 5. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. — С. 166—168. — 222 с. — ISBN 5-9221-0055-6.
7. Тарг С. М. Краткий курс теоретической механики. - 20.- Москва «Высшая школа», 2010, — С. 156 — 416 с. ISBN 978-5-06-006193-2
8. Николаев В. И. Силы инерции в общем курсу физики.—"Физическое образование в вузах", т.6, N 2, 2000г. — ISSN 1609-3143 (print), 1607-2340 (on-line).
9. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. § 34. Движение двёрдого тела. //Т. I. Механика. Теоретическая физика. — 5. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004.— С. 168. — 222 с. — ISBN 5-9221-0055-6.

Литература

• Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц. § 39. Движение в неинерциальной системе отсчёта // Теоретическая физика (рус.). — М.: Наука, 1988. — Т. I. Механика. — С. 163-167. — 216 с. — ISBN 5-02-013850-9.
• В. И. Арнольд. § 26. Движение в подвижной системе координат // Математические методы классической механики (рус.). — М.: Наука, 1979. — С. 106—110. — 432 с.