Уравнение Брейта

Уравнение Брейта — релятивистское волновое уравнение, полученное Грегори Брейтом в 1929 году на основе уравнения Дирака. Оно описывает две или более массивные частицы со спином 1/2 (например, электроны), которые взаимодействуют электромагнитно с точностью до первого порядка теории возмущений. Оно учитывает магнитные взаимодействия и запаздывающие эффекты с точностью до 1/c². Когда другие квантовые электродинамические эффекты незначительны, это уравнение показывает хорошее согласование с экспериментом. Впервые оно было получено из дарвиновского лагранжиана, а позже доказано в теории поглощения Уилера — Фейнмана и, наконец, в квантовой электродинамике.

Вступление

Уравнение Брейта является не только приближением в терминах квантовой механики, но и в терминах теории относительности, поскольку не вполне инвариантно относительно преобразований Лоренца. Как и уравнение Дирака, оно трактует ядра как точечные источники внешнего поля для частиц, которые оно описывает. Для N частиц уравнение Брейта имеет вид (r_ij — расстояние между частицами i и j):

${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial \Psi }{\partial t}}=\left(\sum _{i}{\hat {H}}_{D}(i)+\sum _{i>j}{\frac {q_{i}q_{j}}{r_{ij}}}-\sum _{i>j}{\hat {B}}_{ij}\right)\Psi }$

где

${\displaystyle {\hat {H}}_{D}(i)=\left[q_{i}\phi (\mathbf {r} _{i})+c\sum _{s=x,y,z}\alpha _{s}(i)\pi _{s}(I)+\alpha _{0}(I)m_{0}c^{2}\right]}$

гамильтониан Дирака для i-й частицы с координатой r_i и φ(r_i) скалярный потенциал в этом положении. q_i — заряд частицы, поэтому для электрона q_i = −e.

Одноэлектронные дираковские гамильтонианы для частиц, вместе со своими мгновенными кулоновскими взаимодействиями q_iq_j/r_ij, формируют оператор Дирака — Кулона. К этому Брейт добавил следующий оператор (оператор Брейта):

${\displaystyle {\hat {B}}_{ij}=-{\frac {1}{2r_{ij}}}\left[\mathbf {a} (i)\cdot \mathbf {a} (j)+{\frac {\left(\mathbf {a} (i)\cdot \mathbf {r} _{ij}\right)\left(\mathbf {a} (j)\cdot \mathbf {r} _{ij}\right)}{r_{ij}^{2}}}\right]}$,

где матрицы Дирака для i-го электрона: a(i) = [α_x(i),α_y(i),α_z(i)]. Два слагаемых в операторе Брейта соответствуют запаздывательным эффектам к первому порядку. Волновая функция Ψ в уравнении Брейта является спинором с 4N элементами, поскольку каждый электрон описывается дираковским биспинором с 4 элементами, а полная волновая функция их тензорным произведением.

Гамильтониан Брейта

Полный гамильтониан в уравнении Брейта, так называемый гамильтониан Дирака — Кулона — Брейта (H_DCB) можно разложить на операторы энергии для электронов в магнитном и электрическом полях (также известный как гамильтониан Брейта — Паули)[1], имеющие хорошо определённый смысл при рассмотрении взаимодействий молекул с магнитными полями (например, в случае ядерного магнитного резонанса):

${\displaystyle {\hat {B}}_{ij}={\hat {H}}_{0}+{\hat {H}}_{1}+...+{\hat {H}}_{6}}$,

где ${\displaystyle {\hat {H}}_{0}}$ — нерелятивистский гамильтониан (${\displaystyle m_{i}}$ — масса покоя частицы i):

${\displaystyle {\hat {H}}_{0}=\sum _{i}{\frac {{\hat {p}}_{i}^{2}}{2m_{i}}}+\sum _{i>j}{\frac {q_{i}q_{j}}{r_{ij}}}}$;

${\displaystyle {\hat {H}}_{1}}$ — релятивистская поправка к нерелятивистскоому гамильтониану (связанная с разложением энергии по степеням скорости света ${\displaystyle E_{kin}=m_{i}c^{2}{\sqrt {1+\gamma ^{2}v^{2}/c^{2}}}-m_{i}c^{2}}$):

${\displaystyle {\hat {H}}_{1}=-{\frac {1}{8c^{2}}}\sum _{i}{\frac {{\hat {p}}_{i}^{4}}{m_{i}^{3}}}}$;

${\displaystyle {\hat {H}}_{2}}$ — поправка, частично учитывает запаздывание и может быть описана как взаимодействие между магнитными дипольными моментами частиц, возникающими вследствие орбитального движения зарядов (взаимодействие орбита — орбита):

${\displaystyle {\hat {H}}_{2}=-\sum _{i>j}{\frac {q_{i}q_{j}}{2r_{ij}m_{i}m_{j}c^{2}}}\left[\mathbf {\hat {p}} _{i}\cdot \mathbf {\hat {p}} _{j}+{\frac {(\mathbf {r_{ij}} \cdot \mathbf {\hat {p}} _{i})(\mathbf {r_{ij}} \cdot \mathbf {\hat {p}} _{j})}{r_{ij}^{2}}}\right]}$;

${\displaystyle {\hat {H}}_{3}}$ — классическое взаимодействие между орбитальными магнитными моментами (вследствие орбитального движения зарядов) и спиновыми магнитными моментами (так называемое спин-орбитальное взаимодействие). Первое слагаемое описывает взаимодействие спина частицы с собственным орбитальным моментом (F(r_i) — электрическое поле в месте расположения частицы), а второе слагаемое - с орбитальным моментом другой частицы:

${\displaystyle {\hat {H}}_{3}={\frac {\mu _{B}}{c}}\sum _{i}{\frac {1}{m_{i}}}\mathbf {s} _{i}\cdot \left[\mathbf {F} (\mathbf {r} _{i})\times \mathbf {\hat {p}} _{i}+\sum _{j>i}{\frac {2q_{i}}{r_{ij}^{3}}}\mathbf {r} _{ij}\times \mathbf {\hat {p}} _{j}\right]}$;

${\displaystyle {\hat {H}}_{4}}$ — неклассическое, присущее теории Дирака слагаемое, которое также называют дарвиновским вкладом:

${\displaystyle {\hat {H}}_{4}={\frac {ih}{8\pi c^{2}}}\sum _{i}{\frac {q_{i}}{m_{i}^{2}}}\mathbf {\hat {p}} _{i}\cdot \mathbf {F} (\mathbf {r} _{i})}$;

${\displaystyle {\hat {H}}_{5}}$ — магнитный момент спин-спинового взаимодействия. Первое слагаемое называется контактным взаимодействием, поскольку он отличен от нуля только, когда частицы находятся в одной точке. Второе слагаемое - классическая взаимодействие диполь-дипольного типа:

${\displaystyle {\hat {H}}_{5}=4\mu _{B}^{2}\sum _{i>j}\left\lbrace -{\frac {8\pi }{3}}(\mathbf {s} _{i}\cdot \mathbf {s} _{j})\delta (\mathbf {r} _{ij})+{\frac {1}{r_{ij}^{3}}}\left[\mathbf {s} _{i}\cdot \mathbf {s} _{j}-{\frac {3(\mathbf {s} _{i}\cdot \mathbf {r} _{ij})(\mathbf {s} _{j}\cdot \mathbf {r} _{ij})}{r_{ij}^{2}}}\right]\right\rbrace }$;

${\displaystyle {\hat {H}}_{6}}$ — взаимодействие спинового и орбитального магнитных моментов с внешним магнитным полем H:

${\displaystyle {\hat {H}}_{6}={\frac {2e\hbar }{2mc}}\sum _{i}\left[\mathbf {H} (\mathbf {r} _{i})\cdot \mathbf {s} _{i}+{\frac {q_{i}}{m_{i}c}}\mathbf {A} (\mathbf {r} _{i})\cdot \mathbf {\hat {p}} _{i}\right]}$.

Примечания

• ↑  H.A. Bethe, E.E. Salpeter. Quantum Mechanics of One- and Two-Electron Atoms (англ.). — New York: Plenum Press, 1977. — P. 181.
• G. Breit. Dirac's Equation and the Spin-Spin Interactions of Two Electrons (англ.) // Phys. Rev. : journal. — New York, USA, 1932. — Vol. 39. — doi:10.1103/PhysRev.39.616. — Bibcode: 1932PhRv...39..616B.
• J.L. Friar, J.W. Negele (1973). Breit equation analysis of recoil corrections to muonic atom energy levels. Physics Letters B. Vol. 46.
• J. Mourad, H. Sazdjian. How to obtain a covariant Breit type equation from relativistic constraint theory (англ.) // Journal of Physics G: Nuclear and Particle Physics^[англ.] : journal. — IoP, 1995. — Vol. 46. — doi:10.1088/0954-3899/21/3/004. — Bibcode: 1995JPhG...21..267M. — arXiv:hep-ph/9412261.